高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ） 第23课时

第23课时对数函数的基本内容课时目标1.初步理解对数函数的概念．2．会求与对数函数有关的定义域与值域问题．3．能作出对数函数图象，说出函数的图象和特殊点．识记强化1．对数函数的概念．一般地，把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．2．对数函数的图象与性质.定义y＝logax(a＞0，且a≠1)底数a＞10＜a＜1图象定义域{x|x＞0}值域R共点性图象过点(1,0)，即loga1＝0函数值x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)．x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0].课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列函数中是对数函数的是()A．y＝logx2B．y＝3log2xC．f(x)＝log3xD．f(x)＝log3|x|答案：C解析：对数函数是形如“y＝logax(a>0，且a≠1”的函数，A中，自变量x在底数的位置上，B中，log2x的系数不是1，D中，真数的位置不是自变量x，而是与x相关的一个代数式，只有C满足对数函数的定义，故选C.2．函数y＝eq\rx－5)的定义域是()A．(5，＋∞)B．(6，＋∞)C．(5,6]D．(5,6)答案：C解析：∵(x－5)≥0，∴0＜x－5≤1，∴5＜x≤6.3．函数y＝log2x＋3(x≥1)的值域是()A．[2，＋∞)B．(3，＋∞)C．[3，＋∞)D．R答案：C解析：∵log2x≥0(x≥1)，∴y＝log2x＋3≥3.4．函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为()A．(－∞，2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1,2)D．(2，＋∞)答案：C解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x＋8>0,2x－1>0,2x－1≠1))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2,x>\f(1,2),x≠1))，∴eq\f(1,2)<x<2，且x≠1，故选C.5．函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a、b、c、d的大小顺序是()A．1＜d＜c＜a＜bB．c＜d＜1＜a＜bC．c＜d＜1＜b＜aD．d＜c＜1＜a＜b答案：B解析：解法一在原图中作直线y＝1分别交曲线y＝logcx，y＝logdx，y＝logax，y＝logbx于点(c,1)，(d,1)，(a,1)，(b,1)，结合图象可知c＜d＜1＜a＜b，故选B.解法二由图象可知，当x＝2时，loga2＞logb2＞0＞logc2＞logd2，即eq\f(lg2,lga)＞eq\f(lg2,lgb)＞0＞eq\f(lg2,lgc)＞eq\f(lg2,lgd).∴lgb＞lga＞0＞lgd＞lgc.解得b＞a＞1＞d＞c.故选B.6．若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于()\f(\r(2),4)\f(\r(2),2)\f(1,4)\f(1,2)答案：A解析：本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在[a,2a]上的最大值与最小值．f(x)＝logax(0＜a＜1)在(0，＋∞)上是减函数，当x∈[a,2a]时，f(x)max＝f(a)＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga2a.根据题意，3loga2a＝1，即loga2a＝eq\f(1,3)，所以loga2＋1＝eq\f(1,3)，即loga2＝－eq\f(2,3).故由a＝2得a＝2＝eq\f(\r(2),4).二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．已知f(x)为对数函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2，则f(eq\r(3,4))＝________.答案：eq\f(4,3)解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则logaeq\f(1,2)＝－2，∴eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2)，即a＝eq\r(2)，∴f(x)＝logeq\r(2)x，∴f(eq\r(3,4))＝logeq\r(2)eq\r(3,4)＝log2(eq\r(3,4))2＝log22＝eq\f(4,3).8．函数f(x)＝3loga(2x－7)－3(a>0，且a≠1)的图象经过定点P，则点P的坐标为________．答案：(3，－3)解析：令2x－7＝1，得x＝3.又f(3)＝3loga1－3＝－3，所以f(x)的图象经过定点P(3，－3)．9．已知集合P＝{x|eq\f(1,2)≤x≤3}，函数f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.若P∩Q＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))，P∪Q＝(－2,3]，则实数a的值为________．答案：－eq\f(3,2)解析：f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为ax2－2x＋2＞0的解集，而P∩Q＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))，P∪Q＝(－2，3]，可知－2为ax2－2x＋2＝0的一个根，可得a＝－eq\f(3,2).三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)求下列函数的定义域：(1)f(x)＝log(2x－4)(10－2x)；(2)f(x)＝eq\f(1,\r2－4x)).解：(1)由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10－2x>0,2x－4>0，,2x－4≠1))解得2<x<eq\f(5,2)或eq\f(5,2)<x<5，∴函数f(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，5)).(2)由已知，得(2－4x)>0，∴0<2－4x<1,1<4x<2，∴20<22x<21，∴0<2x<1，即0<x<eq\f(1,2)，∴函数f(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).11．(13分)已知f(ex)＝x2－2x＋3，x∈[2,3]．(1)求f(x)的解析式和定义域；(2)求f(x)的最值．解：(1)令ex＝t，则x＝lnt.∵x∈[2,3]，∴t∈[e2，e3]．于是，f(t)＝ln2t－2lnt＋3，∴f(x)的解析式为f(x)＝ln2x－2lnx＋3，x∈[e2，e3]，其定义域为{x|e2≤x≤e3}．(2)由(1)知lnx∈[2,3]．∴lnx＝3时，f(x)最大值为6；lnx＝2时，f(x)最小值为3.∴f(x)的最大值为6，最小值为3.能力提升12．(5分)已知a＞1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图象只可能是下图中的()答案：B解析：∵a＞1，∴y＝logax在区间(0，＋∞)上是增函数，排除C、D，又∵a＞1时，1－a＜0，∴x＞0时，y＝(1－a)x＜0，故选B.13．(15分)已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．解：(1)若f(x)的定义域为R，则u＝ax2＋2x＋1的图象恒在x轴的上方，所以eq