高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试 名师获奖

1．4生活中的优化问题举例1．导数应用(一)1．会用导数解决函数中的综合问题．2．会用导数解决物理中的实际问题．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．导数在几何中的应用：如求切线问题，要正确求出相应函数的导数，看清题意，如果求过某点的函数的曲线的切线，首先要判断该点是否在曲线上，再确定切线条数，最后再应用导数求出切线．2．导数在物理中的应用，导数的物理意义：s′(t0)是路程为s(t)的变速直线运动的瞬时速度v(t0)，利用导数的物理意义可求变速直线运动在某时刻的瞬时速度．3．求函数解析式与导数相关的题，要有列方程意识，有几个参数待定就设法列出几个方程．想一想：(1)过函数y＝eq\r(x)＋eq\f(1,x)图象上的点(1，2)作函数图象的切线，则切线方程为________．(2)某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4的规律作直线运动，则物体在4s时的瞬时速度为________．(1)解析：y′＝eq\f(1,2\r(x))－eq\f(1,x2)，则切线斜率为，所以，切线方程为k＝y′|x＝1＝－eq\f(1,2)，所以，切线方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.(2)解析：s′(t)＝6t＋2，所以物体在4s时的瞬时速度为ν＝s′(t)|t＝4＝26.eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1．已知f(x)＝x2＋3xf′(1)，则f′(2)＝(A)A．1B．2C．4D．8解析：依题意，f′(x)＝2x＋3f′(1)，则f′(1)＝－1，所以f′(2)＝4－3＝1，故选A.2．函数f(x)＝x3－ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝1时取得极值，则a＝(B)A．2B．3C．4D．53．已知质点M按规律s＝at2＋3(单位：cm)做直线运动，且质点M在t＝2s时的瞬时速度为8cm/s，则a的值为________．解析：s′＝2at，所以质点M在t＝2s时的瞬时速度为ν＝s′|t＝2＝4a＝8，得a＝2.答案：2eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．函数y＝cos2x在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))处的切线方程是(D)A．4x＋2y＋π＝0B．4x－2y＋π＝0C．4x－2y－π＝0D．4x＋2y－π＝0解析：y′|x＝eq\f(π,4)＝－2sineq\f(π,2)＝－2，用点斜式求得y＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，故选D.2．下列函数在x＝0处没有切线的是(C)A．y＝3x2＋cosxB．y＝xsinxC．y＝eq\f(1,x)＋2xD．y＝eq\f(1,cosx)解析：因为y＝eq\f(1,x)＋2x在x＝0处没意义，所以y＝eq\f(1,x)＋2x在x＝0处没有切线．3．(2023·高考课标全国卷)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是(D)A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)解析：∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－eq\f(1,2x).令f(x)＝x－eq\f(1,2x)，∴f′(x)＝1＋2－xln2＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.4．已知一物体的运动方程是s＝6t2－5t＋7，则其在t＝________时刻的速度为19.解析：v(t)＝s′＝12t－5＝19，得t＝2.答案：2eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(A)A．2B．1C．－1D．－2解析：y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.可判断函数y＝3x－x3在x＝1处取得极大值，因此极大值点的坐标为(1，2)，即b＝1，c＝2，又ad＝bc，∴ad＝2.6．(2023·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(C)A．∃x0∈R,f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是y＝f(x)的极小值点，则y＝f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0解析：y＝f(x)的值域为(－∞，＋∞),所以选项A正确；函数f(x)的图象可以由y＝x3的图象经过平移和伸缩得到，因为f(x)＝x3是奇函数，所以f(x)的图象是中心对称图形．所以选项B正确；显然选项C不正确；选项D正确．故选C.7．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则点P横坐标的取值范围为______________．解析：设切点P的横坐标为x0，且eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(y′))eq\s\do7(x＝x0)＝2x0＋2＝tanα(α为点P处切线的倾斜角)，又因为α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以0≤2x0＋2≤1，所以x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))8．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时，有极值10，则a、b的值分别为________．解析：f′(x)＝3x2－2ax－b.∵x＝1是函数f(x)的极值点，且在x＝1处的极值为10，∴f′(1)＝3－2a－b＝0，f(1)＝1－a－b＋a2＝10.∴a2＋a－12＝0，∴a＝－4或a＝3.若a＝－4，则b＝11；若a＝3，则b＝－3.答案：－4，11或3，－39．已知x∈R，奇函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞)上单调，求实数a，b，c应满足的条件．解析：∵函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c是奇函数，可得f(0)＝0，∴c＝0，a＝0.∵f′(x)＝3x2－b，又∵函数f(x)在x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞]上单调，∴f′(x)＝3x2－b≥0或f′(x)＝3x2－b≤0(舍去)恒成立，∴b≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，即b≤3.∴a＝0，b≤3，c＝0.10．(2023·重庆卷)已知函数f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(a,x)－lnx－eq\f(3,2)，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y＝eq\f(1,2)x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解析：对f(x)求导得f′(x)＝eq\f(1,4)－eq\f(a,x2)－eq\f(1,x)，由f(x)在点(1，f(1))处切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x知f′(1)＝－eq\f(3,4)－a＝－2，解得a＝eq\f(5,4)；(2)由(1)知f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(5,4x)－lnx－eq\f(3,2)，则f′(x)＝eq\f(1,4)－eq\f(5,4x2)－eq\f(1,x)