高中数学人教A版2第二章推理与证明单元测试 一等奖

选修2-2第二章2.一、选择题1．用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是eq\x(导学号10510585)()A．a2＝b2 B．a2<b2C．a2≤b2 D．a2<b2，且a2＝b2[答案]C2．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是eq\x(导学号10510586)()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数[答案]B[解析]“至少有一个”的对立面是“一个都没有”．3．实数a、b、c不全为0等价于eq\x(导学号10510587)()A．a、b、c均不为0B．a、b、c中至多有一个为0C．a、b、c中至少有一个为0D．a、b、c中至少有一个不为0[答案]D[解析]“不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为04．下列命题错误的是eq\x(导学号10510588)()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数[答案]D[解析]a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误．5．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的eq\x(导学号10510589)()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]C[解析]若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b<c，b＋c<a，两式相加得b<0，这与已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0.6．若m、n∈N*，则“a>b”是“am＋n＋bm＋n>anbm＋ambn”的eq\x(导学号10510590)()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]D[解析]am＋n＋bm＋n－anbm－ambn＝an(am－bm)＋bn(bm－am)＝(am－bm)(an－bn)>0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am>bm,an>bn))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am<bm,an<bn))，不难看出a>b⇒/am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm，am＋n＋bm＋n>ambn＋bman⇒/a>b.二、填空题7．“x＝0且y＝0”的否定形式为\x(导学号10510591)[答案]x≠0或y≠0[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是\x(导学号10510592)[答案]异面[解析]假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．9．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是\x(导学号10510593)[答案]①[解析]四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．三、解答题10．(2023·吉林高二检测)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.eq\x(导学号10510594)[解析]假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．一、选择题1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为eq\x(导学号10510595)()A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线[答案]C[解析]假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.2．已知a、b、c∈(0,1)．则在(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中，eq\x(导学号10510596)()A．不能同时大于eq\f(1,4) B．都大于eq\f(1,4)C．至少一个大于eq\f(1,4) D．至多有一个大于eq\f(1,4)[答案]A[解析]证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于eq\f(1,4).∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.eq\f(1－a＋b,2)≥eq\r(1－ab)＞eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2)，同理eq\f(1－b＋c,2)＞eq\f(1,2)，eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(1,2).三式相加，得eq\f(1－a＋b,2)＋eq\f(1－b＋c,2)＋eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(3,2)，即eq\f(3,2)＞eq\f(3,2)，矛盾．所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).证法2：假设三个式子同时大于eq\f(1,4)，即(1－a)b>eq\f(1,4)，(1－b)c>eq\f(1,4)，(1－c)a>eq\f(1,4)，三式相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3①因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－a＋a,2)))2＝eq\f(1,4).同理，0<b(1－b)≤eq\f(1,4)，0<c(1－c)≤eq\f(1,4).所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故选A.二、填空题3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：eq\x(导学号10510597)①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．[答案]③①②[解析]由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.4．(2023·郑州高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是______(填序号).eq\x(导学号10510598)[答案]③[解析]对于①②④可举反例，说明条件不能推出结论，如①中：a＝b＝eq\f(1,2)，②中：a＝b＝1，④中：a＝－1，b＝－2.对于③，反设a，b都小于等于1，则a＋b≤2与已知矛盾．∴假设不成立，故③正确．三、解答题5.如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上.eq\x(导学号10510599)[证明]假设点M在线段CD上，则BD<BM＝CM<CD，且AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，所以AB2＝BD2＋AD2<BM2＋AD2<CD2＋AD2＝AC2，即AB2<AC2，所以AB<AC.这与AB>AC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上．6．已知数列{an}满足：a1＝eq\f(1,2)，eq\f(31＋an＋1,1－an)＝eq\f(21＋an,1－an＋1)，anan＋1<0(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)(n≥1).eq\x(导学号10510600)(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．[解析](1)由题意可知，1－aeq\o\al(2,n＋1)＝eq\f(2,3)(1－aeq\o\al(2,n))．令cn＝1－aeq\o\al(2,n)，则cn＋1＝eq\f(2,3)cn.又c1＝1－aeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,4)，则数列{cn}是首项为c1＝eq\f(3,4)，公比为eq\f(2,3)的等比数列，即cn＝eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))n－1，故1－aeq\o\al(2,n)＝eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))n－1⇒aeq\o\al(2,n)＝1－eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))n－1.又a1＝eq\f(1,2)>0，anan＋1<0，故an＝(－1)n－1eq\r(1－\f(3,4)·\f(2,3)n－1).bn＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝[1－eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))n]－[1－eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))n－1]＝eq\f(1,4)·(eq\f(2,3))n－1.(2)用反证法证明．假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}是首项为eq\f(1,