高中数学北师大版1本册总复习总复习 学业分层测评6

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若空间任意两个非零向量a，b，则|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】a＝b⇒|a|＝|b|，且a∥b；所以，必要；当b＝－a时，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以，不充分．故选B.【答案】B2．下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．【答案】C3．如图2­1­3所示，三棱锥A­BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90°的共有()图2­1­3A．3对 B．4对C．5对 D．6对【解析】夹角为90°的共有eq\o(BA,\s\up12(→))与eq\o(BD,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))与eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(DB,\s\up12(→))与eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))与eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(DA,\s\up12(→))与eq\o(DC,\s\up12(→)).【答案】C4.在如图2­1­4所示的正三棱柱中，与〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉相等的是()图2­1­4A．〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))〉B．〈eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CA,\s\up12(→))〉C．〈eq\o(C1B1,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉D．〈eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))〉【解析】∵eq\o(B1A1,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))，∴〈eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))〉＝60°，故选D.【答案】D5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ACC1A\o(BD,\s\up12(→)) B．eq\o(BC1,\s\up12(→))\o(BD1,\s\up12(→)) D．eq\o(A1B,\s\up12(→))【解析】∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1，故eq\o(BD,\s\up12(→))为平面ACC1A1的法向量．【答案】A二、填空题6．正四面体S­ABC中，E，F分别为SB，AB中点，则〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉＝________.【解析】如图所示，∵E，F为中点，∴EF∥SA，而△SAC为正三角形，∴∠SAC＝eq\f(π,3)，∴〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉＝eq\f(2π,3).【答案】eq\f(2π,3)7．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝eq\f(π,4)，则〈a，c〉＝eq\f(π,4)；②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝b；③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c；④异面直线的方向向量不共线．【导学号：32550022】【解析】①〈a，c〉＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)，①错；②a∥b，②错；③当b＝0时，推不出a∥c，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】④图2­1­58．如图2­1­5，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与【解析】要求异面直线EF与GH所成的角就是求〈eq\o(FE,\s\up12(→))，eq\o(GH,\s\up12(→))〉，因为eq\o(FE,\s\up12(→))与eq\o(BA1,\s\up12(→))同向共线，eq\o(GH,\s\up12(→))与eq\o(BC1,\s\up12(→))同向共线，所以〈eq\o(FE,\s\up12(→))，eq\o(GH,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up12(→))，eq\o(BC1,\s\up12(→))〉，在正方体中△A1BC1为等边三角形，所以〈eq\o(FE,\s\up12(→))，eq\o(GH,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up12(→))，eq\o(BC1,\s\up12(→))〉＝60°.【答案】60°三、解答题9.如图2­1­6，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1图2­1­6(1)写出所有的单位向量；(2)写出与eq\o(AB,\s\up12(→))相等的所有向量；(3)写出与eq\o(AD,\s\up12(→))相反的所有向量；(4)写出模为eq\r(5)的所有向量．【解】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，因为长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1，所以AD1＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).(1)单位向量有：eq\o(AA1,\s\up12(→))，eq\o(A1A,\s\up12(→))，eq\o(BB1,\s\up12(→))，eq\o(B1B,\s\up12(→))，eq\o(CC1,\s\up12(→))，eq\o(C1C,\s\up12(→))，eq\o(DD1,\s\up12(→))，eq\o(D1D,\s\up12(→)).(2)与eq\o(AB,\s\up12(→))相等的向量有：eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(D1C1,\s\up12(→))，eq\o(A1B1,\s\up12(→)).(3)与eq\o(AD,\s\up12(→))相反的向量有：eq\o(DA,\s\up12(→))，eq\o(CB,\s\up12(→))，eq\o(C1B1,\s\up12(→))，eq\o(D1A1,\s\up12(→)).(4)模为eq\r(5)的向量有：eq\o(AD1,\s\up12(→))，eq\o(A1D,\s\up12(→))，eq\o(BC1,\s\up12(→))，eq\o(B1C,\s\up12(→))，eq\o(D1A,\s\up12(→))，eq\o(DA1,\s\up12(→))，eq\o(C1B,\s\up12(→))，eq\o(CB1,\s\up12(→)).图2­1­710．如图2­1­7所示，已知正四面体A­BCD.(1)过点A，作出方向向量为eq\o(BC,\s\up12(→))的空间直线；(2)过点A，作出平面BCD的一个法向量．【解】如图所示，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为eq\o(BC,\s\up12(→))的空间直线．(2)如图所示，取平面BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，∴向量eq\o(AO,\s\up12(→))可作为平面BCD的一个法向量．[能力提升]1．空间两向量a，b互为相反向量，已知向量|b|＝3，则下列结论正确的是()A．a＝b B．a＋b为实数0C．a与b方向相同 D．|a|＝3【解析】∵a，b互为相反向量，∴a＝－b，又∵|b|＝3，∴|a|＝3.【答案】D2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，下列四对向量：①eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(C1D1,\s\up12(→))；②eq\o(AC1,\s\up12(→))与eq\o(BD1,\s\up12(→))；③eq\o(AD1,\s\up12(→))与eq\o(C1B,\s\up12(→))；④eq\o(A1D,\s\up12(→))与eq\o(B1C,\s\up12(→)).其中互为相反向量的有n对，则n＝()A．1 B．2C．3 D．4【解析】eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(AD1,\s\up12(→))与eq\o(C1B,\s\up12(→))平行且方向相反，互为相反向量．【答案】B图2­1­83．如图2­1­8所示，四棱锥D1­ABCD中，AD＝DD1＝CD，底面ABCD是正方形，DD1⊥面ABCD，E是AD1的中点，求〈eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))〉．【解】取CD1的中点F，连接EF，DF，则eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up12(→))，∴〈eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))〉，由AD＝DD1＝CD，且D1D⊥AD，D1D⊥CD，∴DE＝DF＝EF＝eq\f(\r(2),2)DD1，∴△EFD为正三角形，∠FED＝eq\f(π,3)，∴〈eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))〉＝eq\f(2π,3).4．如图2­1­9，四棱锥V­ABCD，底面ABCD为正方形，VA⊥平面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：【导学号：32550023】图2­1­9(1)直线AB的方向向量；(2)求证：BD⊥平面VAC，并确定平面VAC的法向量．【解】(1)由已知得，在以这五个顶点为起点