初等数论期中考试答案

设a,,满足a|bn,x,a|nnn(by)bny,a|anx,a|bna|anx,a|a|(bny),a|n:1,,|bna|bny,a|.a2.(a,b)，c|a,(c,a)(c,b)1.证明：记d(c,a),c|ab,故q,abcqbcqad|a,d|c,故d|(cqa),即d|d|ad|(a,b),(a,b)d(c,a)，同理可证(c,b)(c,a)(c,b)1:若d|a,d|c,|abd|ab,d|bd1,(c,a)c同理(c,b)3.已知[，B]42[C]66(,C)3,,B,C.[，B]4223[B,C]662311,A237,B237,123123其中0,1,i1,2,3)(,C)3,3|,3|C,1,又由[,B]ii2223知11,[B,C]23117,7|11|C故A212,332(,)知与1.BAC113311当,1,即A21时C3366,B6,A21,B2,11C33或A21,B6,C33A21,B2,CA21,B6,C66.当时,0,即A42时C33,B6,A42,B2,C3311或A42,B6,C33(21,2,33),(21,6,33),(21,2,66),(21,6,66),(42,2,33),(42,6,33).5x7y2z3xy4z4解：2(2)13xyxy,x2t，ty2-t又由(1)7得x-zx-z2zx-z2t-2tx2ty2t,tzt消去z13xy即xy方程xy的一个特解是xy00xt,(t)y4-txty4-tt)z-2t6y5.由原方程得x6,y6y6所以y:x2x3x4x5,,,.3y6yyy试证：不定方程x-4yz.442证明：x-4yzx4yz442442存在一组解使得的取值达到最小，记为4yzu(2y)zu，4242224(2y,z)1事实上，若2y不互素必可导出222y2ab,zab,uab,aba,b)1222222又由y解得am,bnymn,mnm,n)222u2a2b2m4nm44n4u.26.z4(x44y4)2(x44y4)2(2xy)4,(2xy)4z4(x44y4)2,故无正整数解.7.3,3,3,...3一起能否构成模11的完全剩余系.0129解：不能构成模11的完全剩余系.3243,31(mod11),33(mod11),55633(mod11),33(mod11),33(mod11),3,3,3,...311个数，但它们7283940129中间有对模11同余的数，故不能构成模11的完全剩余系.8已知(m)，求m解：当为素数时，由(m)m-1m4m5当为合数时，若为奇数，则mp(为奇素数，t仅含一个素因数)t或mnn(n,n)n,n至少含两个素因数1212121当mp时，(m)(p)p(pp(p32与(m)4tttt1p.当mnn(n,n)1,n,n3,此时(m)(nn)(n(n)n,n，121212121212且n,n比它们小且与它们互素，故(n，(n)1212(n(n)得(n)(n)2nn(n,n).12121212故不存在既是奇数又是合数的使得(m)1若为偶数，则m2或2n,当m2时，(m))）ttttt224t3mm2n)从而(m)t1t)()2()()2nnnnt12t2,tttt1()nnt当时，得()2nnmnn3,此时m故9.设（,1,mn1(modmn).()()mn,，由Eulerm1,n0,()()nmmn1(modn),n|(mn1),mn1(modm),即()()()()()()mnmnmnm|()()1,,|(()n()1)()()1mn)nmnmnmmn1(modmn