高中数学北师大版2第一章统计案例

章末综合测评(一)统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为()①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．A．①②③ B．③④C．④⑤ D．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④为相关关系．【答案】D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝－；②y与x负相关且y＝－＋；③y与x正相关且y＝＋；④y与x正相关且y＝－－.其中一定不正确的结论的序号是()A．①② B．②③C．③④ D．①④【解析】y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错．【答案】D3．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率是，开关了15000次后还能继续使用的概率是，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是()A． B．C． D．【解析】记“开关了10000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝，P(B)＝，则P(AB)＝，由条件概率的计算方法，可得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f,＝.【答案】A4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y＝＋，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是()A．她儿子10岁时的身高一定是145.83cmB．她儿子10岁时的身高一定是145.83cm以上C．她儿子10岁时的身高在145.83cm左右D．她儿子10岁时的身高一定是145.83cm以下【解析】由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C．【答案】C5．(2023·咸阳高二检测)已知一个线性回归方程为y＝＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则eq\x\to(y)＝()A． B．C．60 D．75【解析】∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴eq\o(y,\s\up6(－))＝×9＋45＝.【答案】A6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(5,18)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,4)【解析】出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点共有5×2＝10种，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,3).【答案】A7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为()p(χ2>k)kp(χ2>k)kA．25% B．75%C．% D．%【解析】查表可得χ2>.因此有%的把握认为“X和Y有关系”．【答案】D8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)【解析】由题意知，乙队获得冠军的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，由对立事件概率公式得，甲队获得冠军的概率为P＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).【答案】D9．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为()A．p＋q－2pq B．p＋q－pqC．p＋q D．pq【解析】甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为p(1－q)，乙花卉成活而甲花卉不成活的概率为q(1－p)，故恰有一株成活的概率为p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2qp.【答案】A10．同时抛掷三颗骰子一次，设A：“三个点数都不相同”，B：“至少有一个6点”，则P(B|A)为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(60,91)C．eq\f(5,18) D．eq\f(91,216)【解析】P(A)＝eq\f(6×5×4,6×6×6)＝eq\f(120,216)，P(AB)＝eq\f(3×4×5,6×6×6)＝eq\f(60,216)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(60,216)×eq\f(216,120)＝eq\f(1,2).【答案】A11．以下关于线性回归分析的判断，正确的个数是()①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图1中的A，B，C点；③已知直线方程为y＝－，则x＝25时，y的估计值为；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．图1A．0 B．1C．2 D．3【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不只一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入y＝－，得y＝，∴③正确；④正确，故选D．【答案】D12．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”.嗜酒不嗜酒总计患肝病70060760未患肝病20032232总计90092992其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】由列联表中数据可求得随机变量χ2＝eq\f(992×700×32－60×2002,760×232×900×92)≈＞，所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此②③正确．【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知x，y的取值如下表：x2356y从散点图分析y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝＋a，则a＝________.【解析】由题意得eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5，又(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在直线y＝＋a上，所以a＝5－4×＝.【答案】14．已知P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(3,5)，则P(AB)＝________.【解析】由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,10).【答案】eq\f(3,10)15．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知P(χ2≥≈，P(χ2≥≈.根据表中数据，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.【解析】χ2≈>，故判断出错的可能性为.【答案】16．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1杯数24343864由表中数据算得线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(已知回归系数b＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝\x\to(y)－b\x\to(x)))【解析】根据表格中的数据可求得eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)×(18＋13＋10－1)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝40－(－2)×10＝60，∴y＝－2x＋60，当x＝－5时，y＝－2×(－5)＋60＝70.【答案】70三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？【解】设从甲袋中任取1个球，事件A：“取得白球”，由此事件eq\x\to(A)：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B：“取得白球”，由此事件eq\x\to(B)：“取得红球”，则P(A)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2).因为A与B相互独立，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)相互独立，所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P(AB＋eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B)))＝P(AB)＋P(eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B)))＝P(A)P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：男女总计喜欢吃零食51217不喜欢吃零食402868总计454085请问喜欢吃零食与性别是否有关？【解】χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，把相关数据代入公式，得χ2＝eq\f(85×5×28－40×122,17×68×45×40)≈>.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．19．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2：图2将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷总计男女总计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)，P(χ2≥k)k【解】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：非体育迷体育迷总计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈.因为<，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝eq\f(7,10).20．(本小题满分12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3).P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3).(1)P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9).(2)∵P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩eq\x\to(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).21．(本小题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：播放天数12345678910点击观看的累计人次51134213235262294330378457533(1)画出散点图；(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？(3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？【解】(1)散点图如下图所示：(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：i12345678910xi12345678910yi51134213235262294330378457533xiyi51268639940131017642310302441135330eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝385，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝1020953，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝19749利用上表的结果，计算累计人次与播放天数之间的相关系数，r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(19749－10××,\r(385－10××\r(1020953－10×)≈.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，所以求线性回归方程有实际意义．(3)b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(19749－10××,385－10×≈，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈－×≈，因此所求的线性回归方程是y＝＋.(4)当x＝11时，y的估计值是×11＋≈547.因此，当播