第七章 假设检验

第七章假设检验

假设检验的基本问题

一个总体参数的检验

二个总体参数的检验第一节假设检验的基本问题一、假设检验的陈述

由统计资料得知，2007年某地新生儿的平均体重为3190克，现从2008年的新生儿中随机抽取100个，测得其平均体重为3210克，问2008年的新生儿与2007年相比，体重有无显著差异。用统计的语言来说，“假设”就是对总体参数的具体数值所作的陈述。在假设检验中，首先需要提出两种假设，即原假设和备择假设。原假设，通常是研究者想收集证据予以反对的假设，由于原假设（H）用0修饰，所以也称为零假设。备择假设，通常是研究者想收集证据予以支持的假设，也称为研究假设、替换假设，用H1或Ha表示。备择假设通常是用于支持你自己的看法。假设的形式：H0——原假设，H1——备择假设双尾/侧检验：H0：μ=μ0

，H1：μ≠μ0单尾/侧检验：左侧检验：H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0

右侧检验：H0：μ≤μ0

，H1：μ＞μ0几点说明：第一，原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立。第二，在建立假设时，通常是先确定备择假设，然后再确定原假设。第三，在假设检验中，等号“＝”总是放在原假设上。第四，在面对某一实际问题时，原假设和备择假设可能是截然相反的。第五，假设检验的目的主要是收集证据来拒绝原假设。二、假设检验规则与两类错误

1、确定检验规则差异临界点判断C拒绝H0C不拒绝H02、两类错误

I类错误——弃真错误，发生的概率为α。

II类错误——取伪错误，发生的概率为β。检验决策H0为真H0非真拒绝H0犯I类错误（α）正确不拒绝H0正确犯II类错误（β）（a）（b）拒绝域假设检验中犯两类错误的情况第一类错误：H0本身成立，但通过检验却否定了它，犯了“弃真”错误，也叫Ⅰ型错误（typeⅠerror）、а错误。Ⅰ型错误，就是把非真实差异错判为真实差异，即H0：μ1=μ2为真，却接受了HA：μ1≠μ2

。第二类错误：H0本身不成立，但通过检验却接受了它，犯了“取伪”错误，也叫II型错误（typeIIerror）、β错误。II型错误，真实差异错判为非真实差异，即HA：μ1≠μ2为真，却未能否定H0：μ1=μ2。

统计检验是基于“小概率事件实际不可能性原理”来否定H0

，但在一次试验中小概率事件并不是绝对不会发生的。如果我们抽得一个样本，它虽然来自与H0对应的抽样总体，但计算所得的统计量却落入了否定域中，因而否定了H0，于是犯了Ⅰ型错误。发生第Ⅰ类错误的概率也常被用于检验结论的可靠性度量，假设检验中犯的第Ⅰ类错误的概率被称为显著性水平，记为α。

Ⅱ型错误概率β值的大小较难确切估计，它只有与特定的HA结合起来才有意义。一般与显著水平α、原总体的标准差σ、样本含量n、以及相互比较的两样本所属总体平均数之差μ1-μ2等因素有关。在其它因素确定时，α值越小，β越大；反之，α值越大，β值越小；样本含量及μ1-μ2越大、均数标准误σ越小，β值越小。

由于β值的大小与α值的大小有关，所以在选用检验的显著水平时应考虑到犯Ⅰ、Ⅱ型错误所产生后果严重性的大小，还应考虑到试验的难易及试验结果的重要程度。若一个试验耗费大，可靠性要求高，不允许反复，那么α值应取小些；当一个试验结论的使用事关重大，容易产生严重后果，如药物的毒性试验，α值亦应取小些。对于一些试验条件不易控制，试验误差较大的试验，可将α值放宽到0.1，甚至放宽到0.25。三、检验统计量与拒绝域根据样本观测结果计算得到的，并据以对原假设和备择假设做出决策的某个样本统计量，称为检验统计量。检验统计量实际上是总体参数的点估计量，但点估计量并不能直接作为检验的统计量。只有将其标准化后，才能用于度量它与原假设的参数值之间的差异程度。对点估计量标准化的依据则是：①原假设为真；②点估计量的抽样分布。实际上，假设检验中所有的检验统计量都是标准化检验统计量，它反映了点估计量与假设的总体参数相比相差多少个标准差。为叙述方便，通常将标准化检验统计量简称为检验统计量。①设有总体：，σ2已知。②随机抽样：样本均值④确定α值⑤查概率表，知临界值⑥计算Z值，作出判断：③标准化：，拒绝H0。若，接受H0；若建立总体假设（1）抽样得到样本观察值（2）根据具体决策要求确定α（4）选择统计量确定H0为真时的抽样分布（3）（5）确定分布上的临界点C和检验规则（7）比较并作出检验判断（6）计算检验统计量的数值【例】由统计资料得知，2007年某地新生儿的平均体重为3190克，标准差为80，现从2008年的新生儿中随机抽取100个，测得其平均体重为3210克，问2008年的新生儿与2007年相比，体重有无显著差异（α＝0.05）。假设检验的流程如下：1.提出原假设和备择假设：

H0：μ=3190（克），H1：μ≠3190（克）2.确定适当的检验统计量，并计算其数值：3.确定4.做出判断，拒绝H0

四、利用P值进行决策如果原假设H0为真，所得到的样本结果会像实际观测结果那么极端或更极端的概率，称为P值，也称为观察到的显著性水平。P值与原假设的对或错的概率无关，它是关于数据的概率。P值告诉我们：在某个总体的许多样本中，某一类数据出现的经常程度。也就是说，P值是当原假设正确时，得到所观测的数据的概率。

如前例，据随机抽样测得2008年的样本均值为3210克，与2007年的总体均值3190克相差20克，20克的差异究竟是大还是小。换句话说，如果原假设成立，即2008年新生儿体重的总体均值与2007年新生儿体重的总体均值相同，那么随机抽取出n=100的样本，其均值大于3210克的概率有多大呢？这个概率称为P值，所以P值就是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率。如果P值很小，说明这种情况发生的概率很小，而如果出现了，根据小概率原理，我们就有理由拒绝原假设，P值越小，我们拒绝原假设的理由就越充分。计算P值的一般表达式（1）：左侧检验：P值是当时，检验统计量小于或等于根据实际观测样本数据计算得到的检验统计量值的概率，即P值＝计算P值的一般表达式（2）：右侧检验：P值是当时，检验统计量小于或等于根据实际观测样本数据计算得到的检验统计量值的概率，即P值＝计算P值的一般表达式（3）：双侧检验：P值是当时，检验统计量小于或等于根据实际观测样本数据计算得到的检验统计量值的概率，即P值＝在已知P值的条件下，将其与给定的显著性水平α值进行比较，单侧检验中，P值位于抽样分布的一侧，而双侧检验P值位于分布的两侧，每一侧的P值为1/2。如果P值＜α，拒绝原假设；如果P值＞α，不拒绝原假设。第二节一个总体均值、比例和方差

的假设检验一、总体均值的检验

【例】一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了40罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性水平α＝0.05，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求。解：提出的原假设和备择假设为：计算检验统计量的具体数值：显著性水平α＝0.05，得由于所以，不拒绝原假设。检验结果表明：样本提供的证据不足以推翻原假设，因此不能证明该天生产的饮料不符合标准要求。方法二：用P值进行检验

1.用EXCEL计算P值

2.比较P值

P＝0.312495>α＝0.05

3.作出决策由于P值＝0.312495远远大于α＝0.05，所以不拒绝原假设，得到的结论与前面的相同。

【例】某机床厂加工一种零件，根据经验知道，该厂加工的零件的椭圆度渐近服从正态分布，其总体均值为0.081mm，今另换一种新机床进行加工，取200个零件进行检验，得到椭圆度均值为0.076mm，样本标准差为0.025mm，问新机床加工零件的椭圆度总体均值与以前有无明显差别。解：提出的原假设和备择假设为：计算检验统计量的具体数值：显著性水平α＝0.05，得由于所以，拒绝原假设。可以认为新老机床加工零件的椭圆度的均值有显著差异。方法二：用P值进行检验

1.用EXCEL计算P值

2.比较P值

P＝0.004655>α＝0.05

3.作出决策由于P值＝0.004655远远小于α＝0.05，所以拒绝原假设，得到的结论与前面的相同。

【例】某批发商欲从厂家购进一批灯泡，根据合同规定灯泡的使用寿命平均不能低于1000小时。已知灯泡燃烧寿命服从正态分布，标准差为200小时。在总体中随机抽取了100个灯泡，得知样本均值为960小时，批发商是否应该购买这批灯泡？解：提出的原假设和备择假设为：计算检验统计量的具体数值：显著性水平α＝0.05，得由于所以，拒绝原假设，即这批灯泡的使用寿命低于1000小时，批发商不应购买这批灯泡。方法二：用P值进行检验

1.用EXCEL计算P值

2.比较P值

P＝0.02275＜α＝0.05

3.作出决策由于P值＝0.02275小于α＝0.05，所以拒绝原假设，得到的结论与前面的相同。★如果在此例的假设检验中，取显著性水平α＝0.02，会发生什么？

双侧检验左侧检验右侧检验假设形式检验统计量Α与拒绝域P值决策准则大样本情况下一个总体均值的检验方法P＜α，拒绝H0小样本的检验方法【例】一种汽车配件的平均长度要求为12cm，高于低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一个配件提供商提供的10个样本进行了检验，结果如下：

12.2

10.8

12.0

11.8

11.9

12.4

11.3

12.2

12.0

12.3

假设该供货商生产的配件服从正态分布，在0.05的显著性水平下，检验该供应商提供的配件是否符合要求？解：依题意建立如下原假设和备择假设：

H0：μ＝12

H1：μ≠12根据样本数据计算得：由于n＝10＜30，为小样本，采用t检验统计量：根据自由度（n－1）＝10－1＝9，查t分布表得：由于不拒绝原假设，样本提供的证据不足以推翻原假设。供应商提供的配件可以认为是符合要求的。方法二：用P值进行检验

1.用EXCEL计算P值

2.比较P值

P＝0.498469786

>α＝0.05

3.作出决策由于P值大于α＝0.05，所以不拒绝原假设，得到的结论与前面的相同。双侧检验左侧检验右侧检验假设形式检验统计量Α与拒绝域P值决策准则小样本情况下一个总体均值的检验方法P＜α，拒绝H0二、总体比例的检验条件检验统计量H0、H1

拒绝域P值决策准则二项分布np≥5n（1－p）≥5H0：π=π0H1：π≠π0P＜α，拒绝H0H0：π≥π0H1：π＜π0H0：π≤π0H1：π＞π0【例】一项统计结果声称，某市老年人口（年龄在65岁以上）所占的比例为14.7%，该市老年人口研究会为了检验该项统计是否可靠，随机抽选了400名居民，发现其中有57人年龄在65岁以上，调查结果是否支持该市老年人口比例为14.7%的看法（α＝0.05）？解：H0：π=14.7%