高中数学苏教版第一章立体几何初步单元测试【全国一等奖】

1．直线与平面的位置关系取一块形状为平行四边形ABCD的木板，将平行四边形ABCD木板的一边AB紧靠桌面并绕AB转动，当AB的对边CD转动到任意一个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？为什么？1．直线与平面的位置关系：(1)直线a在平面α内：直线a和平面α有无数个公共点，记作a⊂α；(2)直线a与平面α相交：直线a和平面α有且只有－个公共点，记作a∩α＝A；(3)直线a与平面α平行：直线a和平面α有0个公共点，记作a∥α．2．直线与平面平行的判定定理．(1)文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．该定理常表述为：“线线平行，则线面平行．”(2)符号语言：若l⊄α，m⊂α，且l∥m，则l∥α.3．线面平行的判定定理的作用：证明线面平行．用该定理判断直线l和平面α平行时，必须具备三个条件：①直线l不在平面α内，即l⊄α；②直线m在平面α内，即m⊂α；③两直线l、m平行，即l∥m．三个条件缺一不可．4．直线和平面平行的性质定理．(1)文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．简称为：“若线面平行，则线线平行”．(2)符号语言：若l∥α、l⊂β，α∩β＝m，则l∥m.(3)直线和平面平行的性质定理中有三个条件：①直线l和平面α平行，即l∥α；②平面α和平面β相交于直线m，即α∩β＝m；③直线l在平面β内，即l⊂β.这三个条件是缺一不可的条件．5．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直．6．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．7．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．8．直线与平面垂直的判定定理．(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．(2)符号语言：若l⊥m、l⊥n、m∩n＝B、m⊂α、n⊂α，则l⊥α.9．直线和平面垂直的性质定理．(1)文字语言：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．即垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)符号语言：已知直线a、b和平面α，若a⊥α，b⊥α，那么a∥b.10．直线和平面相交包括直线与平面垂直和直线与平面不垂直两种，后者叫做这个平面的斜线，其交点叫斜足，斜线上任意一点与斜足间的线段，叫做这个点到平面的斜线段．11．直线和平面所成角：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：①当一直线垂直于平面，所成的角是直角；②当一直线平行于平面或在平面内，所成角为0°；③直线和平面所成角的范围是[0°，90°]；④直线和平面所成角是斜线与该平面内直线所成角的最小值．12．求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)找出斜线在给定平面内的射影；(2)指出并论证斜线与平面所成的角；(3)在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角．,一、直线和平面的位置关系空间的直线与平面有如下三种位置关系：①直线在平面内——有无数个公共点；②直线与平面相交——有一个公共点；③直线与平面平行——没有公共点．为便于掌握三者间的从属关系可分类为：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直线在平面外\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直线与平面相交：有且只有一个公共点,直线与平面平行：没有公共点)),直线在平面内：有无数个公共点))同学们在学习时要借助于直线与平面的三种位置关系的画法和符号表示加强理解和掌握．判断直线在平面内的常用方法是：①公理1；②反证法．判断直线和平面相交的常用方法是：①证明直线和平面有且只有一个公共点；②反证法．二、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．该定理常表述为：“线线平行，则线面平行．”符号语言为：若l⊄α，m⊂α，且l∥m，则l∥α.这一定理告诉我们“证明线面平行的实质是证明线和平面内的一条直线平行”．请同学们谨记：线线平行具有传递性，但线面平行却没有传递性，即命题“a∥b，b∥α⇒a∥α”是假命题．直线与平面平行的判定方法：①依定义采用反证法；②判定定理；③利用公理4.三、直线和平面平行的性质定理如果一条直线和已知平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行，简称“若线面平行，则线线平行”．该定理的实质是由线面平行推出线线平行，常用于证明线线平行问题．但要谨记“线”的特殊性——是过已知直线的平面与已知平面的“交线”．虽然由线面平行，能得到线与平面内的无数条直线平行，但并不是和平面内的每一条直线都平行，若直线和平面平行，则这条直线与平面内的直线的位置关系包括平行和异面．四、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．该定理是证明线面垂直的重要方法，应用时要谨记“两条相交直线”这一条件．定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．五、直线和平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．即垂直于同一个平面的两条直线平行．定理的证明运用了“反证法”，同学们要在老师的指导下完成定理的证明并由此掌握反证法的使用条件及操作过程．该定理给出了证明线线平行的又一方法．因此，利用该定理即可以证明线线垂直，也可以证明线线平行．六、直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．直线和平面所成的面包括0°角、直角、锐角，因此直线和平面所成角的范围是[0°，90°]．求斜线与平面所成的角一般步骤：①找出斜线在给定平面内的射影；②指出并论证斜线与平面所成的角；③在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角．直线和平面所成角是通过其相应的平面角的大小来表示的，教材中由直线与平面垂直的定义及斜线和射影来定义直线和平面所成的角，在学习直线与平面垂直的定义时要区分“任意”与“无数”两个词的不同含义，命题“如果直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直”是假命题．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)知识点一直线与平面平行的判定定理和性质定理1．如果点M是两条异面直线a、b外的一点，则过点M且与a、b都平行的平面有________个．解析：过点M分别作直线a、b的平行线，若其中一条平行线与已知直线a或b相交，则这样的平面不存在．否则两条相交直线确定的平面与a、b都平行．答案：0或12．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．解析：利用线面平行的性质定理判断．答案：平行3．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是________．解析：用定理来判定线面平行需满足三个条件．答案：0知识点二直线与平面垂直的判定定理和性质定理4．(2023·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：根据条件确定相应的位置关系，再对照选项确定答案．A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．答案：C5．若两条直线满足条件________(填序号)，则这两条直线一定平行．①同垂直于一条直线；②同垂直于一个平面；③同平行于一个平面；④同在一个平面内．解析：根据线面垂直的性质定理．答案：②6．设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的序号是________．解析：根据线面垂直的定义及有关垂心、外心的概念来判断．答案：①②③④7．给出下列命题：①垂直于同一平面的两条直线互相平行；②垂直于同一直线的两个平面互相平行；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．其中正确的命题的序号是________．解析：由线面垂直的性质知①②③④均正确．答案：①②③④8．如图，四面体PABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB.∴△PAC、△PAB均为直角三角形，且底面△ABC也是直角三角形．由BC⊥AB，BC⊥PA知BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB.∴△PBC也是直角三角形，故直角三角形有4个．答案：4个知识点三斜线、射影与线面角9．如图，△BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．(1)求PB与平面BCD所成的角；(2)求BP与平面PCD所成的角．解析：(1)∵PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影．∴∠PBD为PB与平面BCD所成的角．∵BD⊥BC，由三垂线定理得BC⊥BP，又∵CD的长等于点P到BC的距离，∴BP＝CD.设BC＝a，则BD＝a，BP＝CD＝eq\r(2)a，∴在Rt△BPD中，cos∠DBP＝eq\f(\r(2),2).∴∠DBP＝45°，即PB与平面BCD所成角为45°.(2)如图，过点B作BE⊥CD于点E，连接PE.由PD⊥平面BCD得PD⊥BE，又PD∩CD＝D.∴BE⊥平面PCD.∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角．在Rt△BEP中，由(1)知：BE＝eq\f(\r(2),2)a，BP＝eq\r(2)a，∴∠BPE＝30°，即BP与平面PCD所成角为30°.eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)综合点一直线与平面平行的综合应用10．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是________．解析：如图，当A、B在平面α同侧时，直线AB和平面α平行；当A、B在平面α异侧时，直线AB和平面α相交．答案：平行或相交11．如右图，已知：M、N分别是△ADB和△ADC的重心，点A不在平面α内，B、D、C在平面α内．求证：MN∥α.证明：如图，连接AM、AN并延长分别交BD、CD于点P、Q，连接PQ.∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心，∴eq\f(AM,MP)＝eq\f(AN,NQ)＝2.∴MN∥PQ.又PQ⊂α，MN⊄α，∴MN∥α.综合点二直线与平面垂直的综合应用12．如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边．不能保证该直线与平面垂直的是(C)A．①②B．②C．②④D．①②④解析：三角形的两边及圆的两条直径一定相交，而梯形的两边及正六边形的两边可能平行，故②④不能保证该直线与平面垂直．13．在三棱锥OABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值大小是________．解析：画出三棱锥，将OM与平面ABC所成角放在直角三角形中求解．答案：eq\r(2)综合点三平行关系的互相转化和综合应用14．如下图，在底面是菱形的