2022年浙江省杭州市四季青中学高三数学理月考试题含解析

2022年浙江省杭州市四季青中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=t，画出y=f（t）与y=λ的图象，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ再由g（x）=t，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可．【解答】解：令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，故λ的取值范围为（0，）．故选D．2.复数（是虚数单位），则等于A. B.

C.

D.

参考答案：D3.已知直线l：与抛物线C：相交于A，B两点，F为C的焦点，若,则k=（）A．

B．

C．

D．参考答案：D由消去y得：.解得：，设.由根据抛物线定义及得：且由（2）（3）解得：，代入（1），.故选D.

4.（5分）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣

B．

C．﹣

D．参考答案：D【考点】：函数单调性的性质；函数的周期性．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函数f（x）是偶函数∴f（）=f（）=sin=．故选D【点评】：本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．5.设数列是公比为q的等比数列，则“”是“为递减数列”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：D略6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（

）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多参考答案：D【分析】结合两图对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以该选项正确；对于选项B,互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的,超过总人数的20%，所以该选项正确；对于选项C,互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的，比80前多，所以该选项正确.对于选项D,互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多.所以该选项不一定正确.故选：D【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有

（

）

A．210

B．420

C．630

D．840参考答案：B8.已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为

(

)参考答案：D略9.已知定义在R上的偶函数f（x）在［0，+∞］上是增函数，不等式f（ax+1）≤f（x–2）对任意x∈[，1]恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．［–3，–1］

B．［–2，0］

C．［–5，1］

D．［–2，1］参考答案：B．试题分析：在R上的偶函数f（x）在［0，+∞］上是增函数，则在［-∞，0］上是减函数，若不等式f（ax+1）≤f（x–2）对任意x∈[，1]恒成立，即对任意x∈[，1]恒成立，当a=0时，对任意x∈[，1]恒成立，可排除A；当a=1时，对任意x∈[，1]不恒成立，可排除C、D，故选B.考点：函数的恒成立问题.10.已知i为虚数单位，则（

）A．

B. C.

D.

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知方程的两根为，则方程的两根分别为________________.参考答案：12.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=AC（为常数，且），为定长，则△ABC的面积最大值为

．参考答案：13.已知函数(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．参考答案：略14.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为

。参考答案：15.已知复数z满足=1，则z的幅角主值范围是

．参考答案：kπ+－arccos≤θ≤kπ++arccos，(k=0，1)解：=1?4r4+(4cos2θ－1)r2+1=0，这个等式成立等价于关于x的二次方程4x2+(4cos2θ－1)x+1=0有正根．△=(4cos2θ－1)2－16≥0，由x1x2=>0，故必须x1+x2=－>0．∴cos2θ≤－．∴(2k+1)π－arccos≤2θ≤(2k+1)π+arccos．∴

kπ+－arccos≤θ≤kπ++arccos，(k=0，1)16.过抛物线的焦点F的直线l交C于A，B两点，在点A处的切线与x，y轴分别交于点M，N，若的面积为，则_________________。参考答案：2【分析】设出直线的方程，设出点的坐标，求得过的切线方程，由此求得的坐标，代入三角形的面积公式列方程，解得点的坐标，根据抛物线的定义求得的值.【详解】由题意，焦点，设直线，不妨设为左交点，，则过的切线为，则，所以，解得，则，根据抛物线的定义可得.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的切线方程，考查抛物线的定义，属于中档题.17.凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）若对于任意成立，试求的取值范围；（Ⅱ）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由解得由解得所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减

3分所以当时，函数f(x)取得最小值

4分因为对于任意成立，所以即可则，由解得所以a得取值范围是

6分（Ⅱ）依题意得，则由解得x>1，由解得0<x<1

8分所以函数g(x)在区间上有两个零点，所以

10分解得所以b得取值范围是

12分19.

期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：学生数学8991939597物理8789899293（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。（1）从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值．参考答案：解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为:

5名学生数学成绩的方差为:

5名学生物理成绩的平均分为:

5名学生物理成绩的方差为:

因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.（Ⅱ）由题意可知，，，随机变量的分布列是X012P（X）

略20.已知数列满足：．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前n项和．参考答案：（Ⅰ）；

（Ⅱ）略21.已知函数f（x）=（ax+1）ex﹣（a+1）x﹣1．（1）求y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）若x＞0时，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（0）=0，再求出f（0）=0，利用直线方程的点斜式求得y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），则g′（x）=（ax+1+2a）ex，然后对a分类分析，当a≥0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，结合g（0）=0，可得g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，再由f（0）=0，可得x＞0时，不等式f（x）＞0恒成立；当a＜0时，由导数分析x＞0时，不等式f（x）＞0不恒成立，由此可得a的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），∴f'（0）=0，因此y=f（x）在（0，f（0））处的切线l的斜率为0，又f（0）=0，∴y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=0；（2）当x＞0时，f（x）=（ax+1）ex﹣（a+1）x﹣1＞0恒成立，令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），则g′（x）=（ax+1+2a）ex，若a≥0，则g′（x）=（ax+1+2a）ex＞0，g（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1）在（0，+∞）上为增函数，又g（0）=0，∴g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，由f（0）=0，∴x＞0时，不等式f（x）＞0恒成立；若a＜0，当a时，g′（x）＜0在（0，+∞）上成立，g（x）在（0，+∞）上为减函数，∵g（0）=0，∴g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上为减函数，由f（0）=0，∴x＞0时，不等式f（x）＞0不成立；当＜a＜0时，x∈（0，）时，g′（x）＞0，x∈（）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上有最大值为g（），当x→+∞时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，∴存在x0∈（），使f（x）＜0，即x＞0时，不等式f（x）＞0不恒成立．综上，a的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是难题．22.已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x