高中数学人教B版1第一章常用逻辑用语1．1命题与量词

专题1、命题与量词题型一、命题的判断及真假1、命题的定义：用语言、符号或式子表达的，能判断真假的陈述句叫做命题。【注】（1）求证是祈使句，带“？”的是疑问句，带“！”的是感叹句，都不是命题。（2）命题必须满足“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。2、命题的真假：判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．【例1】判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由：(1)求证eq\r(3)是无理数．(2)若x∈R，x2＋4x＋4≥0.(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果．(5)若x＋y和xy都是有理数，则x、y都是有理数．(6)60x＋9>4.解：(1)是祈使句，不是命题．(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，可以判断真假，是命题，且是真命题．(3)是疑问句，不是命题．(4)是真命题，有的人喜欢苹果，有的人不喜欢苹果．(5)是假命题，如：eq\r(3)＋(－eq\r(3))和eq\r(3)·(－eq\r(3))都是有理数，但eq\r(3)和－eq\r(3)都是无理数．(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．【变式1】判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题：(1)末位是0的整数能被5整除；(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；(3)两直线平行，则斜率相等；(4)△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；(5)余弦函数是周期函数吗？解：(1)是命题，真命题；(2)是命题，假命题．因为平行四边形的对角线不一定相等；(3)是命题，假命题．因为两直线的斜率可能都不存在；(4)是命题，真命题；(5)不是命题，因为该语句不是陈述句．【变式2】下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是（）A、1B、2C、3D、4解析：①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直．矩形的对角线不一定垂直．【变式3】(1)下列语句为命题的是 （） A、对角线相等的四边形B、同位角相等C、x≥2 D、x2－2x－3<0(2)下列语句中①{0}∈N；②他长得高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.命题的个数是()A、1B、2C、3 D、4【变式4】下列语句中①空集是任何集合的真子集；②x2－3x－4＝0；③3x－2>0；④把门关上！⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？命题的个数为()A、1个B、2个C、3个 D、4个【变式5】判断下列命题的真假：(1)如果a>b，那么eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(2)方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2.[误解](1)真命题．(2)真命题．[辨析](1)错误地认为“比较大的实数的倒数反而小”，忽略了a、b的符号差异．(2)命题“方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2”与命题“x＝2是方程x2－5x＋6＝0的根”是两个不同的命题，前者是假命题，后者为真命题．【变式6】下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集，其中真命题有 ()A、1个 B、2个C、3个 D、4个【变式7】命题p：奇函数一定有f(0)=0；命题q：函数y=x+的单调递减区间是[-1,0)(0,1]，则下列四个判断中正确的是（）A、p真q真B、p真q假C、p假q真D、p假q假【变式8】关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．[解析]对于①，向量在等式两边不能相消，也可举反例：当a⊥b且a⊥c，a·b＝a·c＝0，但此时b＝c不一定成立；对于②，在eq\f(1,－2)＝eq\f(k,6)，得k＝－3；对于③，根据平行四边形法则，画图可知a与a＋b的夹角为30°，而不是60°.题型二、将命题改写成“若p,则q”的形式命题的形式：在数学中，“若p,则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。【注】命题的其他形式“如果p，那么q”，“只要p，就q”。【例2】把下列命题改写成“若p，则q”的形式：(1)各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；(2)斜率相等的两条直线平行；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4)钝角的余弦值是负数.解：(1)若一个整数的各位数数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除；(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除；(4)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数．【变式1】指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)相等的两个角正切值相等．【变式2】把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假。(1)ac>bc⇒a>b；(2)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m>eq\f(1,4)时，mx2－x＋1＝0无实数根；(4)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；(5)负数的立方是负数．解：(1)若ac>bc，则a>b，假命题，当c=0时不成立；(2)已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2,假命题；(3)若m>eq\f(1,4)，则mx2－x＋1＝0无实数根，真命题；(4)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0.真命题；(5)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，真命题。【变式3】把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题．(1)面积相等的两个三角形全等；(2)当abc＝0时，a＝0，或b＝0，或c＝0；(3)对顶角相等．解(1)若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．假命题；(2)若abc＝0，则a＝0，或b＝0，或c＝0.真命题；(3)若两个角为对顶角，则这两个角相等．真命题．题型三、全称命题与存在性命题的概念1、全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有”“任何一个”“每一个”在陈述中表示事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题．事实上，全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为．2．存在量词和存在性命题(1)存在量词：短语“有一个”“有些”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符合“”表示。(2)存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题．一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题，用符号简记为．常用量词总结：全称量词：所有的、一切、每一个、任意一个、凡是等等；存在性量词：存在、至少有一个、有些、某个、有一个等等。【例3】判断下列语句是全称命题，还是存在性命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[思路探索]先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有一个”，故为存在性命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．【变式1】用量词符号“∀”“∃”表达下列命题：(1)实数都能写成小数形式；(2)有一个实数α，tanα无意义；(3)对任意实数x，都有x3>x2.解(1)∀x∈R，x能写成小数形式．(2)∃α∈R，使tanα无意义．(3)∀x∈R，x3>x2.【变式2】若a、b∈R，且a2＋b2≠0，则①a、b全为0；②a、b不全为0；③a、b全不为0；④a、b至少有一个不为0.其中真命题的个数为()A、0B、1C、2 D、3[答案]C[解析]a、b全为零时，a2＋b2＝0，故①不正确；当a＝0，b≠0或a≠0，b＝0时，a2＋b2≠0，故③不正确；②④正确，【变式3】（1）下列语句不是全称命题的是()A、任何一个实数乘以零都等于零B、自然数都是正整数C、高二·一班绝大多数同学是团员D、每一个向量都有大小（2）下列命题为存在性命题的是()A、偶函数的图象关于y轴对称B、正四棱柱都是平行六面体C、不相交的两条直线是平行直线D、存在实数大于等于3【变式4】以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是()．A、锐角三角形的内角是锐角或钝角B、至少有一个实数x，使x2≤0C、两个无理数的和必是无理数D、存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命题．【变式5】用量词符号“∀”、“∃”表达下列命题：(1)所有的有理数x都使得eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数；(2)一定有实数α、β，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(3)一定有整数x、y，使得3x－2y＝10；(4)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有一个解．[解析](1)∀x∈Q，都能使得eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数；(2)∃α、β∈R，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(3)∃x、y∈Z，使得3x－2y＝10；(4)∀a∈R，∀b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．题型四、全称命题和存在性命题真假的判断对于全称命题“∀x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x0，使p(x0)不成立，即“∃x0∈M，p(x0)不成立．”对于存在性命题“∃x0∈M，p(x0)”，要判断它为真，只需在M中找到x0，使p(x0)成立，要判断它为假，需要判断“∀x∈M，p(x)不成立”．【例4】指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tanx1<tanx2；(3)∃T0∈R，使sin(x＋T0)＝sinx；(4)∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋1<0.解(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题．(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝sinx是周期函数，2π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x∈R，x2＋1>0.∴命题(4)是假命题．[思路探索]判断全称命题为假时，可以用特例进行否定，判断存在性命题为真时，可以用特例进行肯定．【变式1】判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2x＋1>0；(2)∃x0∈R，|x0|≤0；(3)∀x∈N*，log2x>0；(4)∃x0∈R，cosx0＝eq\f(π,2).解(1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，∴原命题是假命题．(2)∵当x＝0时，|x|≤0成立，∴原命题是真命题．(3)∵当x＝1时，log2x＝0，∴原命题是假命题．(4)∵当x∈R时，cosx∈[－1，1]，而eq\f(π,2)>1，∴不存在x0∈R，使cosx0＝eq\f(π,2)，∴原命题是假命题．【变式2】判断下列命题的真假．(1)任意两向量a，b，若a·b>0，则a，b夹角为锐角；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)存在一个函数，既是奇函数又是偶函数．【自主解答】(1)a·b＝|a||b|·cosa，b>0，有cosa，b>0，又∵0≤a，b≤π，∴0≤a，b<eq\f(π,2)，即a，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．(2)∵x2＋y2＝0时，x＝y＝0，故不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故它是真命题．【变式3】在下列存在性命题中①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形，假命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3[答案]A[解析]因为三个命题都是真命题，所以假命题的个数为0.【变式4】下列命题是假命题的是()A、∀x∈R,3x>0B、∀x∈N，x≥1C、∃x∈Z，x<1 D、∃x∈Q，eq\r(x)∉Q[答案]B[解析]当x＝0时，0∈N，但0<1，故“∀x∈N，x≥1”为假命题．【变式5】下列命题中的假命题是()A、∀x∈R，x2＋2>0B、∃x∈Z，x3<1C、∀x∈N，x4≥1D、∃x∈R，x2－3x＋2＝0【解析】对于A，∀x∈R，x2＋2≥2>0，正确；对于B，由于－1∈Z，当x＝－1时能使x3<1，正确；对于C，由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，错误；对于D，由于1∈R，当x＝1时，x2－3x＋2＝0，正确．【答案】C【变式6】有四个关于三角函数的命题：p1∶∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：∀x∈[0，π],eq\r(\f(1－cos2x,2))＝sinx；p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝eq\f(π,2).其中的假命题是()A、p1，p4B、p2，p4C、p1，p3 D、p2，p3【解析】对∀x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1，∴p1为假命题；当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，sinx－siny＝sin(x－y)，∴p2是真命题；∵cos2x＝1－2sin2x，∴eq\f(1－cos2x,2)＝sin2x，又x∈[0，π]时，sinx≥0，∴p3是真命题；当x＝eq\f(3,4)π，y＝eq\f(π,4)时，sinx＝cosy，但eq\f(3,4)π＋eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)，故p4为假命题．【答案】A题型五、根据命题的性质求参数范围【例5】已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．【变式1】对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.答案(－∞，3]【变式2】若存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是()．A、a<1B、a≤1C、－1<a<1 D、－1<a≤1解析当a≤0时，显然存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0；当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，解得－1<a<1，故0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是a<1.答案A【变式3】若方程cos2x＋2sinx＋a＝0有实数解，求实数a的取值范围．解∵cos2x＋2sinx＋a＝0，∴a＝2sin2x－1－2sinx＝2(sin2x－sinx)－1,∴a＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2－eq\f(3,2).又－1≤sinx≤1，∴－eq\f(3,2)≤2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2－eq\f(3,2)≤3.故当－eq\f(3,2)≤a≤3时，方程a＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2－eq\f(3,2)有实数解，所以，所求实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)).【变式4】若∀x∈R，f(x)＝是单调减函数，则a的取值范围是________．解析依题意有：0<a2－1<1⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1>0,a2－1<1))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>1,－\r(2)<a<\r(2)))⇔－eq\r(2)<a<－1或1<a<eq\r(2).答案(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))【变式5】已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是真命题，求实数a的取值范围．解由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，x∈R，f(x)≥0∴Δ＝a2－4≤0得－2≤a≤2.【变式6】若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1，1]．【变式7】已知函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)的值；(2)当f(x)＋2＞logax对于x∈(0，eq\f(1,2))恒成立时，求a的取值范围．【解】(1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，所以f(0)＝－2.由(1)知f(0)＝－2，