高中数学苏教版第一章立体几何初步 章末知识整合

章末知识整合一、函数与方程思想函数与方程思想是一种重要的数学思想．在立体几何中，若一个量未知求另一个量的最值时，可利用函数思想去解决．[例1]如图所示，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，AA1＝AC＝CB(1)证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；(2)设E，F分别为AC，BC上的动点，且CE＝BF＝x(0<x<2)，问当x为何值时，三棱锥C-EC1F的体积最大，(1)证明：因为BB1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC.因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，又BC∩BB1＝B，所以AC⊥平面B1BCC1，而AC⊂平面A1ACC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.(2)解：因为CE＝BF＝x，所以CF＝2－x.VC-EC1F＝VC1-ECF＝eq\f(1,3)S△ECF·CC1＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)x·(2－x)·2＝eq\f(1,3)(2x－x2)＝eq\f(1,3)[－(x－1)2＋1]，又0<x<2，所以当x＝1时，三棱锥C-EC1F的体积最大，最大值为eq\f(1,3).规律总结将几何中的最值问题转化为二次函数是立体几何与代数相结合的典范，应体会此方法思想的应用技巧．[变式训练]1．圆锥的底面半径为2cm，高为4cm解：如图所示，为圆柱和圆锥的轴截面，设所求圆柱的底面半径为r，母线长为l，S圆柱侧＝2π·lr.因为eq\f(r,2)＝eq\f(4－l,4)，所以l＝4－2r.所以S圆柱侧＝2π·lr＝2π·r·(4－2r)＝－4π(r－1)2＋4π≤4π.所以当r＝1时，圆柱的侧面积最大且Smax＝4πcm2.二、转化与化归思想的应用转化与化归就是处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决的问题，最终使问题得到解答的一种数学思想．转化与化归思想是立体几何中重要且常用的数学思想．[例2]如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1(1)求证：AC⊥平面B1D1DB；(2)求AB1与平面B1D1DB所成的角；(3)求三棱锥B-ACB1的体积．分析：(1)证明AC⊥BB1且AC⊥BD即可．(2)结合(1)求解，关键是先作出所求的角．(3)利用VB-ACB1＝VC-ABB1求解．(1)证明：因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.又AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面B1D1DB.(2)解：设AC与DB的交点为O，连接B1O，由(1)知AC⊥平面B1D1DB，所以B1O就是AB1在平面B1D1DB上的射影．所以∠AB1O就是所求的角．因为AB1＝eq\r(2)，AO＝eq\f(\r(2),2)，∠AOB1＝90°，所以∠AB1O＝30°.(3)解：VB-ACB1＝VC-ABB1＝eq\f(1,3)CB·S△ABB1＝eq\f(1,6).规律总结(1)空间中线线、线面、面面三者之间相互转化的关系如下：线线平行↔线面平行↔面面平行；线线垂直↔线面垂直↔面面垂直．有关线面位置关系的论证往往就通过这种联系和转化得到解决．(2)通过添加辅助线或辅助面将立体几何问题转化为平面几何问题．(3)空间角的求解．通常将空间的角(异面直线的夹角、直线与平面所成的角、二面角)转化为平面内两条相交直线的夹角，通过三角形求解，即立体问题平面化．[变式训练]2．已知圆柱的高为5π，底面半径为2eq\r(3)，轴截面为矩形A1ABB1，在母线AA1上有一点P，且PA＝π，在母线BB1上取一点Q，使B1Q＝2π，则圆柱侧面上P，Q两点间的最短距离为________．解析：如图甲所示，沿圆柱的母线AA1剪开得矩形(如图乙所示)，过点P作PE∥AB交BB1于点E，令PA＝a，B1Q＝b，则PE＝AB＝eq\f(1,2)×2πR＝πR＝2eq\r(3)π，QE＝h－a－b＝2π.所以PQ＝eq\r(PE2＋QE2)＝eq\r(（πR）2＋（h－a－b）2)＝4π.答案：4π三、整体思想的应用整体思想在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形(体)等都是整体思想在解数学问题中的具体运用．[例3]一个长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长．分析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可．解：设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，对角线长为l，则由题意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（xy＋yz＋zx）＝11，,4（x＋y＋z）＝24.))由4(x＋y＋z)＝24得x＋y＋z＝6，从而由长方体对角线性质得：l＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(（x＋y＋z）2－2（xy＋yz＋zx）)＝eq\r(62－11)＝5.规律总结整体思想就是在探究数学问题时，研究问题的整体形式、整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征做出整体性处理．整体思想的含义很广，根据问题的具体要求，可以对代数式做整体变换，或整体代入，也可以对图形做整体处理．[变式训练]3.如图所示，长方体三个面的对角线长分别是a，b，c，求长方体对角线AC′的长．解：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，由题意得：对角线AC′＝eq\r(x2＋y2＋z2)，而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝c2，①,x2＋z2＝b2，②,y2＋z2＝a2.③))由①②③得：x2＋y2＋z2＝eq\f(a2＋b2＋c2,2)，所以对角线：AC′＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(1,2)eq\r(2（a2＋b2＋c2）).四、分类讨论思想的应用由于图形的类型或位置不确定引起分类讨论．[例4]用互相平行且距离为27的两个平面截球，两个截面圆的半径分别为r1＝15，r2＝24，试求球的表面积．分析：应分两个平行截面位于球心的同侧或两侧进行讨论．解：设球的半径为R，球心O到两平行截面的距离为OO1＝d1，OO2＝d2.(1)当两个平行截面位于球心O的两侧时，如图①所示，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2＝152＋deq\o\al(2,1)，,R2＝242＋deq\o\al(2,2)，,d1＋d2＝27，))解得d1＝20，d2＝7，R＝25.故S球＝4πR2＝2500π.图①图②(2)当两个平行截面位于球心O的同侧时，如图②所示，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2＝152＋deq\o\al(2,1)，,R2＝242＋deq\o\al(2,2)，,d1－d2＝27，))解得d1＝20，d2＝－7，不符合题意，即这种情况不存在．综上可知，球的表面积2500π.规律总结当在已知条件下存在多种可能的情况时，须分类讨论每一种可能的情况，综合得出结果．本题虽然第(2)种情形不成立，但也必须考虑到．[变式训练]4．一张长为10cm，宽为5cm的纸，以它为侧面卷成一个圆柱，解：有两种情况：(1)以5cm的边为圆柱的母线，则形成的圆柱的底面周长为10cm，故底面半径为r＝eq\f(5,π)cm，因此V圆柱＝πr2h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,π)))eq\s\up12(2)·5＝eq\f(125,π)(cm3)．(2)以10cm的边为圆柱的母线则