2022年度四川省宜宾市仙临镇中学高三数学文期末试题含解析

2022年度四川省宜宾市仙临镇中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d的值为33，则输出的i的值为A.4 B.5 C.6 D.7参考答案：C，开始执行程序框图，，再执行一行，退出循环，输出，故选C.2.设函数在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：

,取函数，若对任意的∈(-∞,+∞)，恒有，则(

)A.的最大值为2 B.的最小值为2 C.的最大值为1 D.的最小值为1参考答案：D3.已知数列满足，，则当时,为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C4.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：D5.在等差数列中，=,则数列的前11项和=（

）．A．24

B．48

C．66

D．132参考答案：D6.函数为奇函数，分别为函数图像上相邻的最高点与最低点，且，则该函数的一条对称轴为（

）．.

.

.参考答案：A7.点P为△ABC所在平面内一点，当取最小值时，点P为△ABC的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】=[?（）+?（）+]，以PA，PC为邻边做平行四边形PACD，则B，P，D三点共线时，取得最小值，同理可得?（）和取得最小值时的条件，从而确定P的位置．【解答】解：=[?（）+?（）+]，以PA，PC为邻边做平行四边形PACD，设PD交AC于M，则=2，∴当与方向相反时，取得最小值，此时P为△ABC的中线BM上，同理：当P为△ABC的边BC上的中线上时，?（）取得最小值，当P为△ABC的边AB上的中线上时，取得最小值，∴当P为△ABC的三条中线的交点即重心时，取最小值．故选：C．5、某几何体的三视图如题图所示，则该几何体的体积为（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：：C9.已知函数，下列判断正确的是（）A.在定义域上为增函数 B.在定义域上为减函数C.在定义域上有最小值,没有最大值 D.在定义域上有最大值,没有最小值参考答案：C【分析】求出函数的导数,求出极值点,判断函数的单调性,然后求解函数的最小值即可．【详解】∵,∴,令,得,∴当x

时,,单调递减．当

时,,单调递增,所以,无最大值．故选：C．【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力．10.执行下面的程序框图，如果输入的，，那么输出的的值为（

）A．3

B．4

C.5

D．6参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的值为

.参考答案：012.三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则三棱锥外接球O的表面积等于________.参考答案：13.

如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=1，PO=4，则⊙O的半径为

。参考答案：214.将函数y=sin2x﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到的图象与y=ksinxcosx（k＞0）的图象关于对称，则k+m的最小正值是．参考答案：2+【考点】H2：正弦函数的图象；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意可得y=﹣cos（2x﹣2m）的图象和y=sin2x（k＞0）的图象关于点对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，求得k=2，且cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），由此求得k+m的最小正值．【解答】解：将函数y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=﹣cos2（x﹣m）=﹣cos（2x﹣2m）的图象，根据所得图象与y=ksinxcosx=sin2x（k＞0）的图象关于对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，求得k=2，sin（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），即cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），∴﹣2m=﹣+2kπ，k∈Z，即2m=﹣2kπ，k∈Z，故m的最小正值为，则k+m的最小正值为2+．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象，两个函数的图象关于某个点对称的性质，属于中档题．15.已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________.参考答案：6316.已知向量，，，若∥，则=

。参考答案：517.已知复数（其中是虚数单位，），若是纯虚数，则的值为

．参考答案：－4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）求函数f(x)的极值；（2）当时，求证：.参考答案：（1），

…1分

由得；由得。

…3分

故当时取得极小值，无极大值。

………………

5分

（2）若，因为，要证，即证…6分令，则。令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，………8分令，则。令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，…………10分又因为，所以，即，所以，即。………12分（另解：令，则，令，则，所以在单调递减，即在单调递减，又，，所以，使得，且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；所以，又，所以，故，令，则，所以在单调递增，所以，故，即，所以若，则）19.（12分）如图，已知四棱锥S-ABCD中，SA平面ABCD,在直角梯形ABCD中，AD∥BC,，SA=AD=AB=1，M为BC的中点。（1）

求证：SM

AD；（2）

求二面角A-SB-C的大小。（3）

求点M到平面SDC的距离。

参考答案：解析：解法一：（1）在直角梯形ABCD中，过点A作AN垂直BC，垂足为N，易得BN=1，，同时四边形ANCD是矩形，则CN=1，点N为BC的中点，所以点N与点M重合,．………2分连结AM，因为平面ABCD，所以,又AD∥BC，所以SM

AD．…………………4分

（2）过点A作AG垂直SM于点G，易证平面SAM,则，在RT中，，………7分又AD∥平面SBC,所以点D到平面SBC的距离为点A到平面SBC的距离AG,大小值为；……………8分（3）取AB中点E，因为是等边三角形，所以,又,得，过点E作EF垂直SB于点F，连结CF，则，所以是二面角A-SB-C的平面角．………10分在RT中，.在RT中，，所以二面角A-SB-C的大小为．………………………12分解法二：（1）同解法一．（2）根据（1），如图所示，分别以AM,AD,AC所在射线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．有A(0,0,0)，M（，0，0），B（，-1，0），C（,1,0），D（0,1,0）,S（0,0,1）所以，,．设平面SBC的法向量，则,即，解得，取．……………6分又=，则点D到平面SBC的距离．………………8分（3）设平面ASB的法向量，则,即，解得，取．……………10分所以，则二面角A-SB-C的大小为．………………12分20.已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，A点在椭圆上，离心率，AF2与x轴垂直，且|AF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若点A在第一象限，过点A作直线l，与椭圆交于另一点B，求△AOB面积的最大值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意求出椭圆方程，（2）然后求出和OA平行且和椭圆相切的直线方程，把切点到直线OA的距离转化为原点O到切线的距离，则三角形AOB面积的最大值可求．【解答】解（1）：由题意，，a2=b2+c2解得a=2，b=c=2，则椭圆的方程为：（2）要使△AOB面积最大，则B到OA所在直线距离最远．设与OA平行的直线方程为y=．由消去y并化简得．x2+x+b2﹣4=0．由△=0得b=±2，不妨取b＞0，∴与直线OA平行，且与椭圆相切且两直线方程为：y=，则B到直线OA的距离等于O到直线：y=，的距离d，d=，又|OA|=，△AOB面积的最大值s=．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，体现了数学转化思想方法，是中档题．21.(本小题满分12分）为加强中学生实践、创新能力和同队精神的培养，促进教育教学改革，郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：(I)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002，…，199，试写出第二组第一位学生的编号；(II)求出a，b,c,d，e的值(直接写出结果），并作出频率分布直方图；(III)若成绩在95.5分以上的学生为一等奖，现在，从所有一等奖同学中随机抽取5名同学代表学校参加决赛，某班共有3名同学荣获一等奖，若该班同学参加决赛人数记为X,求X的分布列和数学期望.

参考答案：(Ⅰ)编号为004.

…………3分(Ⅱ)a，b，c，d，e的值分别为13,

4,

0.30,

0.08，1.……………6分(Ⅲ)在被抽到的学生中获一等奖的人数为2(人)，占样本的比例是＝0.04，即获一等奖的概率为