2022山西省长治市册村镇中学高一数学理月考试题含解析

2022山西省长治市册村镇中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，则A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意结合正弦定理首先求得b的值，然后利用余弦定理求解c的值即可.【详解】由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．2.已知平面向量，，且与平行，则x=（）A．﹣8 B． C．8 D．参考答案：C【考点】96：平行向量与共线向量；9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据向量共线的充要条件可得关于x的方程，解出即可．【解答】解：由与平行，得4×2﹣1×x=0，即8﹣x=0，解得x=8，故选C．3.若，则函数的图象必过点

（

）A.(0,0)

B.（1，1）

C.（1，0）

D.(0,1)参考答案：C4.P是椭圆上一点，F1,F2为椭圆焦点，且=，那么的面积为（

）A．

B．

C．

D．6参考答案：A5.设函数，则的表达式是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（

）A.1∶

B.1∶9

C.1∶

D.1∶参考答案：D略7.（8分）已知x+y-3=0,求的最小值.参考答案：略8.要得到y=cos（3x﹣）的图象，只需将函数y=sin3x的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右左平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右左平移个长度单位参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：函数y=cos（3x﹣）=sin（3x+）=sin[3（x+）]，将函数y=sin3x的图象向左平移个单位，可得y=cos（3x﹣）的图象，故选：A．9.当曲线与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（） A． B． C． D．参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；直线与圆． 【分析】将曲线方程化简，可得曲线表示以C（0，1）为圆心、半径r=2的圆的上半圆．再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点A（2，4）且斜率为k．作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数k的取值范围． 【解答】解：化简曲线，得x2+（y﹣1）2=4（y≥1） ∴曲线表示以C（0，1）为圆心，半径r=2的圆的上半圆． ∵直线kx﹣y﹣2k+4=0可化为y﹣4=k（x﹣2）， ∴直线经过定点A（2，4）且斜率为k． 又∵半圆与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点， ∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1）， 当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时， 直线与半圆有两个相异的交点． 由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足， 解之得k=，即kAD=． 又∵直线AB的斜率kAB==，∴直线的斜率k的范围为k∈． 故选：C 【点评】本题给出直线与半圆有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 10.要得到函数的图像，只要将函数的图像(

)

A.向左平移个长度单位，B.

向右平移个长度单位，

C.向左平移个长度单位，D.

向右平移个长度单位参考答案：A因为，所以要得到函数的图像，只要将函数的图像向左平移个长度单位。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，若△ABC的面积为，则ab=__参考答案：4【分析】由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】，由正弦定理可得，，即：，由余弦定理可得，，可得，∵△ABC的面积为，可得，解得，故答案为4．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．12.若k，﹣1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点．参考答案：（1，﹣2）【考点】等差数列的性质；恒过定点的直线．【分析】由条件可得k+b=﹣2，即﹣2=k×1+b，故直线y=kx+b必经过定点（1，﹣2）．【解答】解：若k，﹣1，b三个数成等差数列，则有k+b=﹣2，即﹣2=k×1+b，故直线y=kx+b必经过定点（1，﹣2），故答案为（1，﹣2）．13.=．参考答案：1【考点】GT：二倍角的余弦．【分析】原式根号下边的式子利用同角三角函数间的基本关系，完全平方公式，以及二次根式的化简公式变形，再利用绝对值的代数意义及诱导公式化简，约分即可得到结果．【解答】解：∵sin40°＜cos40°，∴sin40°﹣cos40°＜0，则原式====1．故答案为：114.的值等于．参考答案：0【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：=cos+sin（﹣）=﹣=0，故答案为：0．15.化简：_______________．参考答案：16.已知集合，，且，则实数的值为

▲

；参考答案：17.已知，之间的一组数据如下表：则与的线性回归方程必过点

．参考答案：(3,4)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）已知单位向量和的夹角为60°，（1）试判断2与的关系并证明；（2）求在方向上的投影．参考答案：考点： 平面向量数量积的含义与物理意义；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题： 平面向量及应用．分析： （1）由（2﹣）与的数量积为0，能证明2﹣与垂直；（2）根据向量向量的数量积以及投影的定义，计算在方向上的投影||cosθ即可．解答： （1）2﹣与垂直，证明如下：∵和是单位向量，且夹角为60°，∴（2﹣）?=2?﹣=2×1×1×cos60°﹣12=0，∴2﹣与垂直．（2）设与所成的角为θ，则在方向上的投影为||cosθ=||×====．点评： 本题考查了平面向量的数量积以及向量在另一向量上的投影问题，是基础题．19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式．（2）根据两点之间线段最短可得到周长最短的情况，再根据已知两点求得直线解析式，即可求得所求点的坐标．（3）根据三角形的面积计算方法可以将三角形切割为两个便于计算的小三角形，再求每个三角形的底和高，即可表示出三角形的面积，根据二次函数的性质即可求得面积最大时的点的坐标．【解答】解：（1）因为抛物线在x轴上的交点为B（1，0），和C（5，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），由抛物线过A（0，4），∴a（0﹣1）（0﹣5）=4，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣5），即y=x2﹣x+4，对称轴为直线x==3，（2）存在．如图所示，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB，∵B，C关于对称轴对称，AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC，此时△PAB的周长最小，设直线AC方程为y=mx+n，将A（0，4），B（1，0），代入可得，解得：，即y=﹣x+4，当x=3时，y=﹣×3+4=，∴P点坐标为（3，）；（3）存在．设N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如图所示，过N作NF∥OA，分别交x轴和AC于F，G，过A作AD⊥FG的延长线于点D，连接CN，根据（2）的AC解析式y=﹣x+4，可得G（t，﹣t+4），∴NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵S△ANC=S△AGN+S△CGN，S△AGN=GN×AD，S△CGN=CF×GN，∴S△ANC=GN×（AD+FC）=（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时△NAC的面积最大，最大值为，此时t2﹣+4=×（）2﹣×+4=﹣3，∴此时N的坐标为（，﹣3）．20.(12分)如图四边形ABCD中，已知AC=,，，BC=(1)求线段CD的长度；(2)求线段BD的长度．参考答案：解:(1)由题意知AC=,,……………..2分在中,由正弦定理得,……4分

………………6分(2),BC=在中,由余弦定理,得

ks5u………………8分

…………11分………………12分略21.在元旦联欢会上，某校的三个节目获得一致好评．其中哑剧表演有6人，街舞表演有12人，会唱有24人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访．（1）求应从这三个节目中分别抽取的人数；（2）若安排其中的A、B、C、D4人逐一作进一步的采访，求A、B2人不被连续采访的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）先求出三个节目的人数比，由此利用分层抽样的方法能求出应从这三个节目中分别抽取的人数．（2）先求出基本事件总数，再求出A、B2人不被连续采访包含的基本事件个数，由此能求出A、B2人不被连续采访的概率．【解答】解：（1）∵三个节目的人数比为6：12：24，用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人，则哑剧表演、街舞、合唱抽取的人数分别为1，2，4．（2）安排其中的A、B、C、D4人逐一作进一步的采访，基本事件总数n==24，A、B2人不被连续采访包含的基本事件个数m==12，∴A、B2人不被连续采访的概率p===．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．22.（本题满分12分）已知关于x的二次函数（1）设集合和，从集合中随机取一个数作为，从中随机取一个数作为，求函数