高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何 优秀奖

直线与平面的夹角学案编号：GEXX2-1T3-2-2【学习要求】1．理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性，合理性．2．会求直线AB与平面α的夹角θ.【学法指导】通过对公式①的推导过程，体会探究思想在数学知识中的应用．通过本节的学习，培养我们探求知识的欲望，感受数学知识间的相互联系，同时通过相互交流，达到共同提高目的．1．直线与平面所成的角探究点一定义法求直线与平面所成的角问题1斜线和平面所成的角具有什么性质？试一试PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条射线夹角都是60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为________．问题2怎样利用定义求直线与平面的夹角？例1如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD与平面PAB所成的角．跟踪训练1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD探究点二用向量法求线面角问题怎样利用向量求直线和平面所成的角？例2如图在五棱锥P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2eq\r(2)，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD夹角的大小．跟踪训练2如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．【达标检测】1．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2\r(2),3) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2,3)2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，则l与α所成的角为 ()A．30° B．60° C．120° D．150°3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于()A．30° B．60° C．150° D．以上均错4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为 A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),3) C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(3),2)【课堂小结】1．线面角可以利用定义在直角三角形中解决．2．线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为θ,则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a|·|n|).3.2.3直线与平面的夹角一、基础过关1．平面的一条斜线和这个平面所成角θ的范围是 ()A．0°<θ<90° B．0°≤θ<90°C．0°<θ≤90° D．0°<θ<180°2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C与平面ABCD所成的角是A．90° B．30°C．45° D．60°3．正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为 ()\f(1,2) \f(1,3) \f(\r(3),3) \r(3)4．在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin\f(\r(3),2) \f(\r(2),2) \f(\r(10),4)\f(\r(6),4)5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 \f(\r(2),3) \f(\r(3),3) \f(2,3) \f(\r(6),3)6．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是________．二、能力提升7．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()\f(\r(3),4) \f(\r(5),4) \f(\r(7),4) \f(3,4)8.如图，∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝eq\r(2)a，OA与平面α所成的角为________．9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱长为eq\r(2)，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是_____.10．在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值．

11.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．12.如图，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．三、探究与拓展13.已知几何