常微分方程初值问题的数值解法

常微分方程初值问题的数值解法第一页，共六十二页，2022年，8月28日实际问题中遇到的微分方程通常很复杂，多数情况下无法求出解的解析表达式，即使求出解，也常常由于计算量太大而不实用。然而实际问题本身又往往只要求给出其解在一系列点上的近似值，这就要依靠数值解法。其中称为李氏常数。从而保证上面的初值问题的解存在并且唯一。所谓数值解法，就是对于解存在的区间上一系列的点，不妨假定第二页，共六十二页，2022年，8月28日上面给定的初值问题的数值解法有个基本特点，称作“步进式”，即求解的过程是按照节点的排列次序一步步地向前推进。描述这类算法，只须在已知的前提下给出计算的递推公式。逐个求出的近似值。称为给定的微分方程初值问题的数值解。相邻两个节点的间距称为步长。一般我们总假定，即节点间是等距的。第三页，共六十二页，2022年，8月28日其中为的已知函数，是给定的常数，求(1.1)、(1.2)的数值解。一、方法（一）、方法给定初值问题(1.1)(1.2)方法是解初值问题（1.1）、(1.2)最简单的数值解法。由于它的精确度不高，实际计算中已不被采用，然而它在某种程度上却反映了数值解法的基本思想。第四页，共六十二页，2022年，8月28日这种方法是借助于几何直观得到的。由于表示解的曲线通过点，并且在该点处以为切线斜率，于是设想在附近，曲线可以用该点处的切线近似代替，切线方程为第五页，共六十二页，2022年，8月28日图6.1第六页，共六十二页，2022年，8月28日也就是说，时，可用近似代替，记这个值为，即于是给出了一种当时，获得函数值的近似值的方法。重复上面的作法，在处，就可以得到的近似值第七页，共六十二页，2022年，8月28日依此下去，当已经得到，则这就是著名的方法的计算格式。

由于方法是用一条折线近似地代替曲线，所以方法也叫折线法。一种计算格式，当在计算时，仅仅用到它前一步的信息，称它为单步法。可见方法就是单步法。第八页，共六十二页，2022年，8月28日将方程(1.1)在区间上求积分，便得到(1.4)式中右端的积分，可以用数值积分法计算它的近似值。例如，使用左矩形公式则有（二）改进的方法(1.4)上式右端就是用方法得到的，即第九页，共六十二页，2022年，8月28日一般地有这就是公式(1.3)。由此可见，方法也可以看成用矩形公式近似计算某个相应的定积分而得到的。因此可以说，方法之所以精确度不高，正是由于它在计算定积分时，采用矩形公式的缘故。倘若使用较为精确的梯形公式来计算(1.4)式中右端的积分，即第十页，共六十二页，2022年，8月28日将它代入(1.4)式的右端，便得到的近似值，用同样的方法可以得到。一般地有，(1.5)第十一页，共六十二页，2022年，8月28日这就是改进的Euler方法的计算格式。值得注意的是，Euler方法与改进的Euler方法在计算上有一个明显的区别，Euler方法中是由已知的或已经算出的量来表达的，得到它不需要解方程，这类方法通常称为显示方法；而在改进的Euler方法中，未知数也隐含在方程右端之中，对于每一个的值都需要通过解方程才能得到，这类方法通常称为隐式格式。在多数情况下，要从隐式格式(1.5)中解出是很困难的。因此，通常采用如下的迭代方法来求解。即先用Euler方法算出一个结果，作为(1.5)式的初值，进行迭代，其计算格式为第十二页，共六十二页，2022年，8月28日(1.6)由可知，当时，迭代格式收敛。也就是说，只要取得充分小，就可能保证迭代序列第十三页，共六十二页，2022年，8月28日收敛，而且越小，收敛得越快。容易看出，改进的方法虽然提高了精度，然而每一步的计算量却增加很大，每迭代一次，都要重新计算函数值，而且迭代需要反复进行若干次。为了简化算法，通常只迭代一次。具体地讲，先用方法求得一个初步的近似值，称为预估值，再将它代入(1.5)式中作一次校正，这样处理后，计算格式为(1.7)第十四页，共六十二页，2022年，8月28日称它为预估校正格式。可用其中的第一式算出一个预估值，再代入第二式做校正。例1用方法和预估校正法求解初值问题取步长。解分别使用格式与预估校正格式计算，格式的具体形式为第十五页，共六十二页，2022年，8月28日计算结果见下表。预估校正格式格式第十六页，共六十二页，2022年，8月28日1.73211.73791.78481.01.41421.41641.43510.51.67331.67821.71780.91.34161.34341.35820.41.61251.61531.64980.81.26491.26621.27740.31.54921.55251.58030.71.18321.18411.19180.21.48321.48601.50900.61.09541.09591.10000.1准确解预校方法方法准确解预校方法方法上面给出的初值问题有解析解，按该式算出的准确值与近似值一起列在上表中，通过比较可以看出方法的精度是较低的。第十七页，共六十二页，2022年，8月28日二、展开法与截断误差利用展开法可以得到初值问题的任意高精度的计算格式。设初值问题有解，且，足够光滑，则在点处的展开式为展开法（一）第十八页，共六十二页，2022年，8月28日其中值问题中的函由于足够光滑，则当时，，式中的各阶导数可由初数来表达，即第十九页，共六十二页，2022年，8月28日我们在式右端截取项，即舍去余项，则算得的近似值，即此式称为阶的公式。第二十页，共六十二页，2022年，8月28日（二）局部截断误差及其“阶”这个截断误差被称为是阶的，即当时，是关于的阶无穷小量。在考察计算公式的精度时，我们常常假定第步的结果是精确的，即，在这一前提下，来估计第步计算结果的误差，即，这一误差称为局部截断误差。例如，阶的公式的第步的局部截断误差为第二十一页，共六十二页，2022年，8月28日定义1如果一种方法的局部截断误差是阶的，则称该方法是阶的。由定义1，阶公式是阶方法，当时，式变为这正是格式，故知格式是一阶方法，其局部截断误差为，即为二阶的。第二十二页，共六十二页，2022年，8月28日例2证明改进的格式是2阶方法。对于方法的“阶”和局部截断误差的“阶”,我们可以这样来理解：如果式的局部截断误差是阶的，这说明公式的前步的计算结果都是精确的，即式右端关于次的多项式与左端的在处的级数的次数不超过的项，完全重合，而两端超过次的项不重合。因此，我们称此方法为阶的。第二十三页，共六十二页，2022年，8月28日将左端的与右端的在处作展开，有证明设是初值问题、的精确解，即有，由改进的格式有第二十四页，共六十二页，2022年，8月28日将它们代入式，并将右端稍加整理，有可见，该式两端的前三项，即的次数不超过的项完全重合，而从的次方的项开始就不重合了。于是，由定义可知，改进的格式是阶方法，而其局部截断误差是阶的。第二十五页，共六十二页，2022年，8月28日解直接求导数，有例用展开法求解例中的初值问题。第二十六页，共六十二页，2022年，8月28日1.26941.26490.31.18321.18320.21.09541.09540.1用阶公式，取步长，部分计算结果列于表中。表中表示准确值，与比较，可见用阶公式得到的数值解是令人非常满意的。第二十七页，共六十二页，2022年，8月28日三、方法方法（简称方法）是一种构造高精度计算公式的方法。前面我们看到，用展开法确实可以得到高精度的计算公式。然而，方法每提高一阶，都要增加很大的计算导数的工作量，而方法，避开了导数的计算，采用了另外一种构造格式的途径。第二十八页，共六十二页，2022年，8月28日首先，从微分中值定理及方程得。这里称为方程的积分曲线在区间上的平均斜率。由此可见，只要对此平均斜率提供一种算法，就可以得到一个相应的计算公式。下面，我们来观察格式和改进的格式，将它们分别写成方法的基本思想(一)第二十九页，共六十二页，2022年，8月28日前一式是用点处的斜率的平均值来代替平均斜率的，后一式是用两点上的斜率的平均值来代替平均斜率的。我们已经知道格式是1阶方法，而改进的格式是2阶方法。由此看来，如果在区间内多预报几个点的斜率值，然后将它们加权平均，以代替上述的平均斜率，就可以构造出更高阶的计算公式来。因此，方法的关键就在于选择哪些点上的斜率值，以及如何构造它们的线性组合。第三十页，共六十二页，2022年，8月28日与格式与改进的格式可以改写成下面的形式级公式（二）第三十一页，共六十二页，2022年，8月28日舍去误差项，便得到显然，若在区间内取个不同的点，记积分曲线在这个点上的斜率分别为，于是我们可以设第三十二页，共六十二页，2022年，8月28日这就是所谓的级阶的公式。其中都是待定系数，并且有待定系数可用比较系数的方法求得。即将中的和各都在处展成级数，然后令两端关于别的不超过次的同次项的系数相等，便可求得这些待定系数。下面以为例，说明待定系数的求法。当时，由式有第三十三页，共六十二页，2022年，8月28日将式中的与、分别在处作展开，有第三十四页，共六十二页，2022年，8月28日称为修正的梯形公式。注意，这里用到了二元展开式。将上面的三个展开式代入中，并令两端的次数不超过的项的系数相等，于是得到若取，则可算得，这时，由式得第三十五页，共六十二页，2022年，8月28日称为修正的矩形公式。以上两个公式，都是在及的前提之下构造出来的。因此，它们都是级阶的公式。若取，则可算得，由式得第三十六页，共六十二页，2022年，8月28日注意，在上面求待定系数的方程组中，有一个自由参数，故级阶的公式有无穷多个。但是，在这些级公式中，不可能存在高于阶的方法。下面，我们给出级公式可以达到的最高阶数：第三十七页，共六十二页，2022年，8月28日标准级阶公式依照级阶公式的构造过程，我们可以得到更高级高阶的公式，其中最常用的就是标准的级阶公式，其形式为：例用标准级阶公式求解例中给出的初值问题，取。（三）第三十八页，共六十二页，2022年，8月28日解计算公式如下：第三十九页，共六十二页，2022年，8月28日1.7320511.7321401.7378691.051.6124521.6125131.6164740.841.4832401.4832811.4859650.631.341641.3416671.3433600.421.1832161.1832921.1840960.2111100(精确值)(4阶R-K方法)(2阶R-K方法)将计算结果列于表。第四十页，共六十二页，2022年，8月28日将表与表的结果相比较，尽管这里步长放大了，但计算的精度却很高，从而出可以看出选择方法的重要意义。第四十一页，共六十二页，2022年，8月28日四、线性多步法

前面介绍的几种方法都是单步法，即在计算时，仅用到它前面一步得到信息。设想，当通过单步法已经算出，如何充分地利用这些信息，在计算时获得较高精度，这就是多步法的基本思想。

假定仍讨论本章开始给出的一阶微分方程的初值问题第四十二页，共六十二页，2022年，8月28日与其等价的积分方程是前面我们曾使用梯公式，计算式右端的积分，而得到了改进的方法。其实，这也可以理解为是用插值点和的线性插值函数代替函数而得到的。由于通常插多项式的次数越高越精确，所以使我们试图用高次插值多项式代替，来得到高精度的计算方法。

第四十三页，共六十二页，2022年，8月28日今取和为插值节点，这时的插值多项式为

第四十四页，共六十二页，2022年，8月28日用代替，便得到的近似值，即

令，并注意到则得

第四十五页，共六十二页，2022年，8月28日第四十六页，共六十二页，2022年，8月28日上式中右端的用代替，就有显然，这是一个隐式方法，称式为内插公式。第四十七页，共六十二页，2022年，8月28日上面之所以得到的是隐式方法，其原因在于选用了作为插值节点。例如我们取和作为插值节点。这时的插值多项式成为第四十八页，共六十二页，2022年，8月28日用上式代替式右端积分中的，也将得到的近似值，与推导隐式方法的过程类似，可得到如下的显式公式：我们称式为外插公式。在讨论它们的截断误差时，不仅要假定，还要假定‘和，容易证明它们的截断误差均为。第四十九页，共六十二页，2022年，8月28日可以单独使用外插公式，用它每计算一个的值，只需要计算一次的值，计算量小于方法，而它们的截断误差为同阶。但该方法的明显不足是开始的几个值和不能用它算，必须采用其它方法。通常把上面给出的两个公式联合使用，即用外插