2.2 平面向量的线性运算

平面向量的线性运算2．2.1向量加法运算及其几何意义●三维目标1．知识与技能(1)掌握向量的加法运算，并理解其几何意义．(2)会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力．2．过程与方法通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的加法运算的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到特殊的认识事物规律，培养探索精神与创新意识．(2)通过本节的学习，学会用数学的方式解决问题、认识世界，进而领会数学的价值，不断提高自己的文化修养．●重点、难点重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．难点：理解向量加法的定义．●教学建议首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只有引入了运算，数的威力才得以充分展现．类比数的运算，向量也能够进行运算．运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥．实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题．数学中，教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算．1．教学中，应以熟悉的位移的合成和力的合成为背景，引导学生进行实验，使学生形成感知：“既有大小，又有方向的量可以相加，并且可以依据“三角形法则”来进行”．在此基础上，给出向量加法的定义．2．向量加法运算主要是向量加法的三角形法则和平行四边形法则．教科书从几何角度具体给出了通过三角形法则或平行四边形法则作两个向量和的方法．教学中要注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则所对应的物理模型．另外，使学生体会两种加法法则在本质上是一致的．对任意向量与零向量相加，教科书中给出了规定．3．为了让学生认识数的加法与向量加法的区别及联系，可引导学生探究有关向量加法中模的大小关系加强理解，只不过两个数的和是一个数，两个向量的和仍是一个向量．4．引导学生类比数的运算律，通过画图验证向量加法的交换律与结合律．●教学流程eq\x(创设问题情境，引出问题：对比数的加法运算，如何求出两个向量的和呢？)⇒eq\x(引导学生结合物理中力的合成、位移的合成，观察、比较分析，采取类比方法发现并给出向量加法的定义.)⇒eq\x(通过引导学生回答所提问题，理解向量的运算法则、运算律，并探究模的有关性质及其作用.)⇒eq\x(通过例1及其变式训练，使学生掌握运用加法的三角形法则进行化简的思路及策略.)⇒eq\x(通过例2及其变式训练，使学生掌握运用向量的运算法则进行几何证明的方法思路.)⇒eq\x(通过例3及其变式训练，使学生掌握向量的运算法则、运算律在解决实际问题中的用法思路.)⇒eq\x(完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.)⇒eq\x(归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.)(见学生用书第37页)课标解读1.理解向量的加法及其运算法则、运算律．(重点)2.理解向量加法的几何意义．(难点)3.数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)向量加法的定义及其运算法则【问题导思】分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3000N，F2＝2000N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．1．从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？【提示】后面的一次位移叫前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线eq\o(OC,\s\up10(→))表示的力是eq\o(OA,\s\up10(→))与eq\o(OB,\s\up10(→))表示力的合力．体现了向量的加法运算．2．上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？【提示】三角形法则和平行四边形法则．1．向量加法的定义图2－2－1定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up10(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))，如图2－2－1.对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a，Beq\o(C,\s\up10(→))＝b，则向量Aeq\o(C,\s\up10(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(C,\s\up10(→))＝Aeq\o(C,\s\up10(→))平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a，Aeq\o(D,\s\up10(→))＝b，以Aeq\o(B,\s\up10(→))，Aeq\o(D,\s\up10(→))为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量Aeq\o(C,\s\up10(→))＝a＋b向量加法的运算律【问题导思】实数的运算律有哪些？向量的加法是否也有相似的运算律？【提示】交换律和结合律、有.交换律结合律a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(见学生用书第38页)向量的加法运算化简下列各式：(1)eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))；(2)eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OP,\s\up10(→))；(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).【思路探究】多个向量相加，可尝试运用向量加法的三角形法则，也可以观察向量的字母直接运算．解题时要灵活运用运算律，以达到化简的目的．【自主解答】(1)eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))＝(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→)))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝0＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).(2)eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OP,\s\up10(→))＝(eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(AO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→)))＝eq\o(PO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→)).(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝0.1．进行向量的加法运算时常常用到向量平移，还要运用运算律来调整顺序．2．当运算结果为零向量时，不要写成数字0，因为向量的和仍为向量．化简下列各式：(1)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))；(2)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(CO,\s\up10(→)).【解】(1)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).(2)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(CO,\s\up10(→))＝eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→)).利用向量证明几何问题如图所示，已知E、F分别是▱ABCD的边DC、AB的中点，求证：四边形AECF是平行四边形．图2－2－2【思路探究】要证四边形AECF为平行四边形，只需证eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(FC,\s\up10(→)).【自主解答】在▱ABCD中，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))，又由E、F分别是DC、AB的中点，得eq\o(DE,\s\up10(→))＝eq\o(FB,\s\up10(→)).所以eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))＝eq\o(FB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(FC,\s\up10(→))，又A、E、C、F四点不共线，故四边形AECF是平行四边形．1．用向量证明几何问题的一般步骤：(1)把几何问题中的边转化成相应的向量；(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系；(3)还原成几何问题．2．要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等．已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，DO＝OB.图2－2－3求证：四边形ABCD为平行四边形．【证明】∵AO＝OC，DO＝OB，∴eq\o(AO,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))，eq\o(DO,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→)).∴eq\o(DO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(AO,\s\up10(→))，∴eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).即DC∥AB且|eq\o(DC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))|，∴四边形ABCD为平行四边形.向量加法的实际应用如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．图2－2－4【思路探究】解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义，再解Rt△ABC，求出|eq\o(AC,\s\up10(→))|和∠BAC，最后结合图形作答．【自主解答】设eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是|eq\o(AB,\s\up10(→))|＋|eq\o(BC,\s\up10(→))|；两次飞行的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).依题意，有|eq\o(AB,\s\up10(→))|＋|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up10(→))|2＋|\o(BC,\s\up10(→))|2)＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800eq\向量加法的实际问题的解题步骤如下：(1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量；(2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和；(3)利用直角三角形知识解决问题．为了调运急需物资，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5eq\r(3)km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5km/h.图2－2－5(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水的速度方向间的夹角表示)．【解】(1)如图所示，eq\o(AD,\s\up10(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up10(→))表示水速．易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则eq\o(AC,\s\up10(→))表示船实际航行的速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝5eq\r(3)，所以|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up10(→))|2＋|\o(BC,\s\up10(→))|2)＝eq\r(52＋5\r(3)2)＝eq\r(100)＝10.因为tan∠CAB＝eq\f(|\o(BC,\s\up10(→))|,|\o(AB,\s\up10(→))|)＝eq\r(3)，所以∠CAB＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.

(见学生用书第39页)因忽略特殊向量而出错下列命题：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0；③在eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个【错解】C【错因分析】①中，当a＋b＝0时，命题不成立，因此①是假命题；②是真命题；③中，当A，B，C三点共线时，也可以有eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0，因此③是假命题；④中，只有当a与b为同向向量时，|a＋b|与|a|＋|b|才相等，其他情况下均为|a|＋|b|>|a＋b|，因此④是假命题．故真命题的个数为1个．【防范措施】在进行向量的加、减法运算时，应注意一些特殊情况，如零向量、共线向量等．特别是判断一些相关命题的真假时，一定要考虑到这些特殊的情况，如果忽略这些就容易出现错误．【正解】B1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．(见学生用书第40页)1．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向()A．与向量a方向相同B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同D．不确定【解析】如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．【答案】A2．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝aB.eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝0D.eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(MN,\s\up10(→))＋eq\o(NP,\s\up10(→))＋eq\o(PM,\s\up10(→))【解析】eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝2eq\o(AC,\s\up10(→))≠0，故B错．【答案】B3．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))，则四边形ABCD是()A．梯形 B．矩形C．正方形 D．平行四边形【解析】eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))符合平行四边形法则，所以四边形ABCD是平行四边形．【答案】D4．化简：(1)eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；(2)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FG,\s\up10(→)).【解】(1)eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→)).(2)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FG,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＋(eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→)))＋eq\o(FG,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＋eq\o(FG,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))＋eq\o(FG,\s\up10(→))＝eq\o(AG,\s\up10(→)).一、选择题1．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a、b是方向相反的向量C．a＝－bD．a、b无论什么关系均可【解析】只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确．【答案】A2．已知菱形的两邻边eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b,其对角线交点为D，则eq\o(OD,\s\up10(→))等于()A.eq\f(1,2)a＋bB.eq\f(1,2)b＋aC.eq\f(1,2)(a＋b)D．a＋b【解析】作出图形，eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b，∴eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)．【答案】C3．(2013·阜阳高一检测)下列向量的运算结果为零向量的是()A.eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\o(PM,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→))＋eq\o(MP,\s\up10(→))C.eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))D.eq\o(MP,\s\up10(→))＋eq\o(GM,\s\up10(→))＋eq\o(PQ,\s\up10(→))＋eq\o(QG,\s\up10(→))【解析】A项，eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))；B项，eq\o(PM,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→))＋eq\o(MP,\s\up10(→))＝eq\o(PM,\s\up10(→))＋eq\o(MP,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\o(MN,\s\up10(→))；C项，eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→)))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝0＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))；D项，eq\o(MP,\s\up10(→))＋eq\o(GM,\s\up10(→))＋eq\o(PQ,\s\up10(→))＋eq\o(QG,\s\up10(→))＝(eq\o(GM,\s\up10(→))＋eq\o(MP,\s\up10(→)))＋(eq\o(PQ,\s\up10(→))＋eq\o(QG,\s\up10(→)))＝eq\o(GP,\s\up10(→))＋eq\o(PG,\s\up10(→))＝0.【答案】D4．(2013·济南高一检测)在平行四边形ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))|，则四边形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定【解析】∵|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))|＝|eq\o(BD,\s\up10(→))|，|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AC,\s\up10(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝|eq\o(AC,\s\up10(→))|，∴▱ABCD是矩形．【答案】B5．(2013·嘉兴高一检测)已知P为△ABC所在平面内一点，当eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→))＝eq\o(PC,\s\up10(→))成立时，点P位于()A．△ABC的AB边上B．△ABC的BC边上C．△ABC的内部D．△ABC的外部【解析】如图eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→))＝eq\o(PC,\s\up10(→))，则P在△ABC的外部．【答案】D二、填空题6．化简(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝__________.【解析】(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋(eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝0.【答案】07．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))|＝__________.【解析】因为eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))，又AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13)，∴|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))|＝eq\r(13).【答案】eq\r(13)8．当非零向量a，b满足________时，能使a＋b平分a与b的夹角．【解析】以a，b为邻边构成的平行四边形为菱形时，a＋b平分a与b的夹角，此时|a|＝|b|.【答案】|a|＝|b|三、解答题9．已知|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.【解】如图，∵|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝3，∴四边形OACB为菱形．连OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.∵∠AOB＝60°，∴AB＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝3.∴在Rt△BDC中，CD＝eq\f(3\r(3),2).∴|eq\o(OC,\s\up10(→))|＝|a＋b|＝eq\f(3\r(3),2)×2＝3eq\r(3).10.图2－2－6如图所示，在▱ABCD的对角线BD的延长线上取点E、F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．【证明】eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BE,\s\up10(→))，eq\o(FC,\s\up10(→))＝eq\o(FD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))，又∵eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(FD,\s\up10(→)).∴eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(FC,\s\up10(→)).∴AE綊FC，∴四边形AECF是平行四边形．11．如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝AiAi＋1(i＝1,2，…，7)，bj＝eq\o(OAj,\s\up10(→))(j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.图2－2－7【解】因为eq\o(OA3,\s\up10(→))＋eq\o(OA7,\s\up10(→))＝0，所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝eq\o(A2A3,\s\up10(→))＋eq\o(A5A6,\s\up10(→))＋eq\o(OA2,\s\up10(→))＋eq\o(OA5,\s\up10(→))＋eq\o(OA7,\s\up10(→))＝(eq\o(OA2,\s\up10(→))＋eq\o(A2A3,\s\up10(→)))＋(eq\o(OA5,\s\up10(→))＋eq\o(A5A6,\s\up10(→)))＋eq\o(OA7,\s\up10(→))＝eq\o(OA6,\s\up10(→))＝b6.【教师备课资源】1．求向量和的作图方法【典例】(1)已知向量a，b如图(1)，求作向量a＋b；(2)已知向量a，b，c如图(2)，求作向量a＋b＋c.图(1)图(2)【思路探究】按三角形法则或平行四边形法则进行．【尝试解答】(1)法一(三角形法则)在平面内取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，连接OB，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b.如图(甲)所示．法二(平行四边形法则)在平面内取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.连接OC，则eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b.如图(乙)所示．(2)(三角形法则)在平面内取一点O.作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，eq\o(BC,\s\up10(→))＝c，连接OC，则由三角形法则得eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝a＋b＋c.如图所示．应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题：(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．如图所示，已知向量a、b、c、d，求作a＋b＋c＋d.【解】如图所示，首先在平面内取一点O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，接着作eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，则得eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，再作eq\o(BC,\s\up10(→))＝c，则得eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b＋c，再作eq\o(CD,\s\up10(→))＝d，则向量eq\o(OD,\s\up10(→))＝a＋b＋c＋d为所求．2．知识拓展向量加法运算中模的性质(1)当两个非零向量a与b不共线时，由向量加法的三角形法则可知a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当两个非零向量a与b共线且同向时(如图1)，则向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.图1图2(3)当两个非零向量a与b反向且|a|<|b|时(如图2)，则a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝||a|－|b||.(4)当两个向量a与b中至少有一个为0时，则必有|a＋b|＝|a|＋|b|＝||a|－|b||.综上可知任意两个向量a，b恒有：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.3．动态课件制作一个动态课件探究：|a＋b|≤|a|＋|b|.通过改变a，b的位置(共线且同向、共线且反向、不共线)动态演示|a＋b|与|a|＋|b|的关系，可以加强学生对不等式的认识和理解．

2.2.2向量减法运算及其几何意义●三维目标1．知识与技能(1)了解相反向量的概念．(2)掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义．2．过程与方法通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想．3．情感、态度与价值观通过本节学习，使学生利用类比的方法探究向量减法的运算法则，培养学生的探索精神与创新意识．●重点、难点重点：向量减法的概念和向量减法的作图法．难点：减法运算时方向的确定．●教学建议关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法．第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果b＋x＝a，则x叫做a与b的差，记作a－b.这样，作a－b时，可先在平面内任取一点O，再作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up10(→))就是a－b(图1)图1图2第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，即定义a－b＝a＋(－b)．在这种定义下，作a－b时，可先在平面内任取一点O，作eq\o(OB′,\s\up10(→))＝－b，eq\o(OA,\s\up10(→))＝－a(图2)，则由向量加法的平行四边形法则知eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋(－b)．实际上，这两种定义方法没有本质区别．由b＋x＝a，可知图中四边形也是平行四边形，因此为了便于学生接受，降低理论要求，教科书先定义了相反向量，然后把a＋(－b)定义向a－b，并探索了在此定义下作两个向量差的方法以及向量减法的几何意义．含有向量的等式叫做向量等式，在向量等式的两边同时加上或减去一个相同的向量，仍得到向量等式，移项法则对向量等式也是适用的．对这些性质，教科书未作专门介绍，实际上通过作图很容易验证．教学时，可以不专门讲这些内容，需要时能正确运用就行了．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形和三角形来进行讲述的，两种作图方法各有千秋，第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量加法的平行四边形法则，直接做出从同一点出发的两个向量a、b的差，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．第二种作图方法比较简捷．●教学流程eq\x(创设问题情境，引出问题：类比数的减法，试探究向量是否有减法？如何理解向量的减法？)⇒eq\x(引导学生探究向量减法的定义及三角形法则，掌握并理解向量减法的几何意义.)⇒eq\x(通过例1及其变式训练，使学生掌握向量表达式的化简策略及思路.)⇒eq\x(通过例2及其变式训练，使学生掌握向量的线性表示方法.)⇒eq\x(通过例3及其互动探究，使学生掌握向量方法在平面几何问题中的使用思路.)⇒eq\x(完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.)⇒eq\x(归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.)(见学生用书第40页)课标解读1.掌握向量减法的运算，理解其几何意义．(重点)2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．(难点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)相反向量【问题导思】实数a的相反数为－a，向量a与－a关系应叫做什么？【提示】相反向量．1．定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．2．性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0.(2)若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.(3)零向量的相反向量仍是零向量．向量的减法【问题导思】1．两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零向量吗？【提示】是零向量．2．根据向量的加法，如何求作a－b?【提示】先作出－b，再按三角形或平行四边形法则作出a＋(－b)．1．定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．图2－2－82．作法：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up10(→))，如图2－2－8所示．3．几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．(见学生用书第40页)化简向量关系式化简：(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))．【思路探究】解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．【自主解答】法一(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋Beq\o(D,\s\up10(→)))＋(eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→)))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝0.法二(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))＋(eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→)))＝eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝0.法三设O为平面内任意一点，则有(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))－(Oeq\o(D,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→)))－(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＋(eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝0.注意满足下列两种形式可以化简：(1)首尾相接且为和．(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用、统一向量起点方法的应用．化简下列各式：(1)(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→)))－(eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(DO,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))；(2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→)))＋(eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→)))－(eq\o(EF,\s\up10(→))－eq\o(EA,\s\up10(→)))．【解】(1)(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→)))－(eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(DO,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))＝(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→)))－(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))＝eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→))＝0.(2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→)))＋(eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→)))－(eq\o(EF,\s\up10(→))－eq\o(EA,\s\up10(→)))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＋(eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→)))－(eq\o(EF,\s\up10(→))－eq\o(EA,\s\up10(→)))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CE,\s\up10(→))＋eq\o(EA,\s\up10(→))－eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＋eq\o(EA,\s\up10(→))－eq\o(EF,\s\up10(→))＝－eq\o(EF,\s\up10(→)).用已知向量表示其他向量如图所示，在正六边形ABCDEF中，点O是正六边形中一点，若已知eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OF,\s\up10(→))＝b，eq\o(EO,\s\up10(→))＝c，eq\o(DO,\s\up10(→))＝d，试用向量a，b，c，d表示eq\o(ED,\s\up10(→))，eq\o(AD,\s\up10(→))，eq\o(DB,\s\up10(→)).图2－2－9【思路探究】运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a、b、c、d的和与差来表示．【自主解答】eq\o(ED,\s\up10(→))＝eq\o(EO,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(EO,\s\up10(→))－eq\o(DO,\s\up10(→))＝c－d.eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝－eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(DO,\s\up10(→))＝－a－d.eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(FA,\s\up10(→))＋eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OF,\s\up10(→))＋eq\o(OF,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(EO,\s\up10(→))＝a＋c.1．解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．2．通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－eq\o(AB,\s\up10(→))”改为“＋eq\o(BA,\s\up10(→))”．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，eq\o(AE,\s\up10(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq\o(BD,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(BE,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))及eq\o(CE,\s\up10(→)).图2－2－10【解】∵四边形ACDE是平行四边形，∴eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＝c，eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－a，eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝c－a，eq\o(CE,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝c－b，∴eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝b－a＋c.向量加减法在平面几何中的应用已知O是▱ABCD的对角线AC与BD的交点，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，eq\o(OD,\s\up10(→))＝c，证明：c＋a－b＝eq\o(OB,\s\up10(→)).【思路探究】法一，可将c＋a－b＝eq\o(OB,\s\up10(→))转化为证明c＋a＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋b，可利用向量加法证明；法二，可综合应用向量加减法证明．【自主解答】法一c＋a＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))＋b＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))，∴c＋a＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋b，即c＋a－b＝eq\o(OB,\s\up10(→)).法二c＋a－b＝eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→)).在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(DA,\s\up10(→))，则eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))，∴c＋a－b＝eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))，即c＋a－b＝eq\o(OB,\s\up10(→)).1．法一是利用三角形加法法则证明两个向量的和相等；法二是利用向量减法法则证明两个向量的差相等，证明时可灵活选择方法．2．灵活选择方法，优化思维过程，通过恒等变形来证明等价命题是常用的证明恒等式的方法．在本例中设eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(CB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，求证：b＋c－a＝eq\o(OA,\s\up10(→)).【证明】∵c－a＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))，eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－b，∴c－a＝eq\o(OA,\s\up10(→))－b，即b＋c－a＝eq\o(OA,\s\up10(→)).(见学生用书第42页)错用向量减法法则致误如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为r1、r2、r3，求eq\o(OD,\s\up10(→)).图2－2－11【错解】因为eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))，所以eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝r3＋r2－r1.【错因分析】错误使用了向量的减法法则导致解错．【防范措施】减法口决：始点相同，连接终点，箭头指向被减向量．应把首尾相接的放在一起计算，始点相同的放在一起计算．必要时，可画出图象，结合图象观察将使问题更为直观．【正解】eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝r3＋r1－r2.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))就可以把减法转化为加法，即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，如：a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，则两条对角线表示的向量为eq\o(AC,\s\up10(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up10(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up10(→))＝a－b.这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．(见学生用书第42页)1．如图所示，在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，则用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up10(→))和eq\o(BD,\s\up10(→))图2－2－12分别是()A．a＋b和a－bB．a＋b和b－aC．a－b和b－aD．b－a和b＋a【解析】由向量的加法、减法得，eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－a.故选B.【答案】B2．下列等式中，正确的个数为()①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.A．3B．4C．5D．6【解析】根据相反向量的概念知①②③④⑤正确，所以正确的个数为5个．故选C.【答案】C3．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝|eq\o(CA,\s\up10(→))|＝1，则|eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))|的值为________．【解析】eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))，而|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝1＝|eq\o(CB,\s\up10(→))|.【答案】14．化简：eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→))－(eq\o(DA,\s\up10(→))－eq\o(CF,\s\up10(→)))．【解】eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→))－(eq\o(DA,\s\up10(→))－eq\o(CF,\s\up10(→)))＝eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(DA,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→)).一、选择题1．在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，则eq\o(BD,\s\up10(→))的相反向量是()A．a－b B．b－aC．a＋b D．－a－b【解析】∵eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－a，∴eq\o(BD,\s\up10(→))的相反向量为－(b－a)＝a－b.【答案】A2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(OF,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))B.eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(OF,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→))C.eq\o(EF,\s\up10(→))＝－eq\o(OF,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))D.eq\o(EF,\s\up10(→))＝－eq\o(OF,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→))【解析】∵O，E，F是不共线的任意三点，∴eq\o(OE,\s\up10(→))＋eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(OF,\s\up10(→))，由此可以推出eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(OF,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→)).故选B.【答案】B3.图2－2－13如图，D、E、F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则eq\o(AF,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))等于()A.eq\o(FD,\s\up10(→))B.eq\o(FC,\s\up10(→))C.eq\o(FE,\s\up10(→))D.eq\o(DF,\s\up10(→))【解析】由图易知eq\o(AF,\s\up10(→))＝eq\o(DE,\s\up10(→))，∴eq\o(AF,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(DE,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(BE,\s\up10(→))，又eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(DF,\s\up10(→))，∴eq\o(AF,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(DF,\s\up10(→)).【答案】D4.图2－2－14(2013·中山高一检测)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))B.eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))C.eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))D.eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0【解析】eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))，故C项错．【答案】C5．O是四边形ABCD所在平面上任一点，eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(CD,\s\up10(→))，且|eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))|，则四边形ABCD一定为()A．菱形B．任意四边形C．矩形D．平行四边形【解析】由|eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))|知|eq\o(BA,\s\up10(→))|＝|eq\o(DC,\s\up10(→))|，且eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(CD,\s\up10(→))，故四边形ABCD是平行四边形．【答案】D二、填空题6．在△OAB中，已知eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，则|a－b|＝________.【解析】a－b＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))，∵|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，∴|eq\o(BA,\s\up10(→))|＝4，即|a－b|＝4.【答案】47．(2013·徐州高一检测)已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0，则eq\o(OC,\s\up10(→))可用eq\o(OA,\s\up10(→))、eq\o(OB,\s\up10(→))表示为________．【解析】eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋2eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋2(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))，∴eq\o(OC,\s\up10(→))＝2eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)).【答案】2eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))8．给出以下五个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②任一非零向量的方向都是唯一的；③|a|－|b|＜|a＋b|；④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；⑤已知A、B、C是平面上任意三点，则eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0.其中正确的命题有________．【解析】由|a|＝|b|，得不到a＝b，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b＝0时，|a|－|b|＝|a＋b|，故③不正确．【答案】②④⑤三、解答题9．设O是△ABC内一点，且Oeq\o(A,\s\up10(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up10(→))＝b，Oeq\o(C,\s\up10(→))＝c，若以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示Deq\o(C,\s\up10(→))、Oeq\o(H,\s\up10(→))、Beq\o(H,\s\up10(→)).【解】由题意可知四边形OADB为平行四边形，∴Oeq\o(D,\s\up10(→))＝Oeq\o(A,\s\up10(→))＋Oeq\o(B,\s\up10(→))＝a＋b.∴Deq\o(C,\s\up10(→))＝Oeq\o(C,\s\up10(→))－Oeq\o(D,\s\up10(→))＝c－(a＋b)＝c－a－b.又四边形ODHC为平行四边形，∴Oeq\o(H,\s\up10(→))＝Oeq\o(C,\s\up10(→))＋Oeq\o(D,\s\up10(→))＝c＋a＋b.∴Beq\o(H,\s\up10(→))＝Oeq\o(H,\s\up10(→))－Oeq\o(B,\s\up10(→))＝a＋b＋c－b＝a＋c.10．(2013·泰安高一检测)已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，eq\o(CM,\s\up10(→))＝a，eq\o(CA,\s\up10(→))＝b，求证：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.【证明】如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，得|eq\o(CM,\s\up10(→))|＝|eq\o(AM,\s\up10(→))|，|eq\o(CA,\s\up10(→))|＝|eq\o(CB,\s\up10(→))|.(1)在△ACM中，eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\o(CM,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→))＝a－b.于是由|eq\o(AM,\s\up10(→))|＝|eq\o(CM,\s\up10(→))|，得|a－b|＝|a|.(2)在△MCB中，eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AM,\s\up10(→))＝a－b，所以eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(MB,\s\up10(→))－eq\o(MC,\s\up10(→))＝a－b＋a＝a＋(a－b)．从而由|eq\o(CB,\s\up10(→))|＝|eq\o(CA,\s\up10(→))|，得|a＋(a－b)|＝|b|.11．在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，先用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up10(→)