第八章位移法

第八章位移法P位移法是计算超静定结构的基本方法之一.力法计算,9个基本未知量位移法计算,1个基本未知量

①以结构的结点位移（包括结点线位移和转角位移）作为基本未知量，②根据结点平衡条件建立位移法方程，③以此先求出未知的结点位移，然后就可以确定各杆的内力。1.位移法的基本概念:8.1概述2.力法与位移法的基本思路:F力法:(1)选多余未知力作为基本未知量(2)根据变形条件写出力法方程(3)解出返回到基本结构，求出最后内力图位移法:1.杆端内力、位移正负规定:8.2等截面直杆的转角位移方程

——建立杆件内力与位移之间的关系lAFBM图(1)杆端弯矩以绕杆顺时针转动为正，反之为负(2)杆端剪力以绕杆内一点顺时针转动为正，反之为负(1)杆端弯矩以绕杆顺时针转动为正，反之为负(2)杆端剪力以绕杆内一点顺时针转动为正，反之为负(3)位移规定AB转角：顺时针为正，反之为负线位移（侧移）：两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移使杆顺时针转动为正，反之为负为正为正为正注意：这里的弯矩正负的规定只是针对杆件杆端弯矩而言，至于杆件其他截面的弯矩没有这样的规定。作弯矩图时还是将弯矩画在杆件的受拉一侧，不注明正负2.等截面直杆的转角位移方程(1)一端固定一端铰支情况(1)用力法求解(令为线刚度)(1)(2)同样用力法求解原结构中由（1）（2）叠加杆端剪力：由平衡条件得杆端弯矩：(2)两端固定的情况F同样采用力法可得到：两端固定的情况一端固定一端铰支情况------固端弯矩（不是独立的角位移）利用转角位移方程可得表8-1两端固定的情况一端固定一端铰支情况练习设为已知由转角位移方程可推得两端弯矩分别为两端固定的情况一端固定一端铰支情况------固端弯矩（不是独立的角位移）8.3位移法的基本未知量和基本结构

基本未知量:独立的结点位移.包括角位移和线位移基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能发生位移的结构.独立的结点位移数目（n）=独立的结点位角移数目（）+独立的结点线位移数目（）基本结构基本结构需要考虑轴向变形的链杆或弯曲杆时，其两端距离不能看作不变8.4位移法的典型方程和计算步骤

解：1.判定基本未知量个数（无侧移结构）2.构建基本体系，建立位移方程根据叠加原理：2.构建基本体系，建立位移方程根据叠加原理：-------位移作用时在刚臂上产生的反力矩-------荷载作用时在刚臂上产生的反力矩-------由单位位移作用时在刚臂上产生的反力矩图3.画单位弯矩图和荷载弯矩图代入（8-4）式可得图4.计算基本未知量（实际为转角）5.采用叠加法绘最后内力图图图图图练EI=常数求图Fll基本体系解：位移法求解过程:1)确定基本体系和基本未知量2)建立位移法方程3)作单位弯矩图和荷载弯矩图4)求系数和自由项5)解方程6)作弯矩图例MPr114i6iR1Pr11=10i位移法求解过程:1)确定基本体系和基本未知量2)建立位移法方程3)作单位弯矩图和荷载弯矩图4)求系数和自由项5)解方程6)作弯矩图6i6i4i2iZ1=1M1M图图图例基本体系解：令EI=44.884424850606012050R1=0R2=042图4.848484.8444488图44250606012050图506060图图4.8484442850606012050图67.159.37.763.8822.611.3图qll/2l/2EI=常数qllZ2=1R1=0R2=0Z1=1r12r21r22r11qlqlR1PR2Prij(i=j)主系数>0rij=rji反力互等RiP荷载系数rij(i=j)副系数刚度系数Z1Z2R2R1qlql基本体系解：Z2=1Z1=1r12r22r21r11R1PR2PM2qlqlMPM1r11R1PR2P图r21r22用位移法求阶梯形变截面梁的M图，EI=常数。3II解：试用位移法绘M图解：由线性小变形，由叠加原理可得转角位移方程xy符号规定:杆端弯矩---绕杆端顺时针为正杆端剪力---同前杆端转角---顺时针为正杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正8.5直接由平衡条件建立位移法基本方程A端固定B端定向杆的转角位移方程为A端固定B端铰支杆的转角位移方程为A、B两端固定的转角位移方程为固端弯矩平衡方程法建立位移法方程EI=CPADBCDZ1=12i2i4i4i3iP3Pl/16例11-1作弯矩图1、基本未知量θB、θC2、列杆端力表达式令EI=1mkN=.40mkN-=.7.41CCCFMqq=·=25.04BBEBMqq=·=5.175.02CBCBMqq++=7.4142CBBCMqq-+=7.4124BBAMq+=403CCFCMqq=·=5.02CCDMq=33、列位移法方程0=++=åCFCDCBCMMMM0=++=åBEBCBABMMMM07.1210=-+CBqq07.4192=++CBqq4、解方程θB=1.15θC=－4.89=43.5=－46.9=24.5=－14.7=－9.78=－4.89=1.7MBAMBCMBE二、用直接平衡法计算超静定结构4I4I5I3I3I5m4m4m4m2mCABDEF20kN/m1110.750.5BBBEMqq=·=375.04=3.45、计算杆端弯矩43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)CABDEF)2(3=iMBBCq0,0=+=åMMMBCBAB43D-=iMDC=4.44,0=åXθB↓↓↓↓↓↓↓↓3kN/m8m4m2iiiABCDΔΔ12434642·+D-=iiMBBAq12434622·-D-=iiMBABq045.110=+D-iiBq0616155.1=-D+-iiBJ解之：θ=0.74/iΔ=7.58/i=－13.89=－4.42=－5.691、基本未知量θB、Δ2、列杆端力表达式3、列位移法方程4、解方程5、回代6、画M图点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。M图(kN.m)4.424.4413.895.69PEIEIEIPPPEIEIEIPPPEIEIEIPEIPPEIEIEIPEIEIPEI/28.6对称性的利用↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓24kN/m4m4m4mEIEIEI2EIEI2424

2472724208208M反对称M对称921643252M图(kN.m)48例↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/mX1444M196MP↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/mEIEIEI4m4m24

2472M反对称↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m等代结构2472=1↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/mEIEI4m4m等代结构ACBMMMACABA0=+=åiA2-=qiA0168=+qiMACA2=qiMAAC4=qiMAAB164+=qiMABA162-=q=－20kN.m=8kN.m=－8kN.m=－4kN.m2084208M对称↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4m4m4m4m4m4m30kN30kN10kN/mEI=C用位移法计算图示结构,并绘弯矩图.4m4m30kN10kN/m↓↓↓↓↓↓4080kN.m1iiABC=25=－5=－25=－20=－1080252051025M(kN.m)点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。力法、位移法对比力法基本未知量：多余约束力基本结构：一般为静定结构。作单位和外因内力图由内力图自乘、互乘求系数，主系数恒正。建立力法方程（协调）位移法基本未知量：结点独立位移基本结构：单跨梁系作单位和外因内力图由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。建立位移法方程（平衡）

解方程求多余未知力迭加作内力图用变形条件进行校核

解方程求独立结点位移迭加作内力图用平衡条件进行校核不能解静定结构可以解静定结构联合法与混合法1.联合法PEI=C=+P/2P/2P/2P/2P/2P/2力法:6个未知量位移法:6个未知量部分力法,部分位移法:4个未知量基本思路

联合法是一个计算简图用同一种方法，联合应用力法、位移法。

混合法则是同一个计算简图一部分用力法、另一部分用位移法。超静定次数少，独立