第9章-风险价值度(第4次)

8.1RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009如何理解“百年一遇”等2008年新闻，三峡大坝可抵御百年一遇大洪水2007年开始的“金融海啸”，人们常常说其是一场百年一遇的金融危机如何理解“百年一遇”或“千年一遇”8.2RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009如何理解百年一遇等（续）一种直观的理解是在一年的时间内有1%的可能会发生。RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20098.3风险价值度

(ValueatRisk-VaR)第9

章1.1什么风险价值度(VaR)?8.4RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.1什么风险价值度(VaR)?（续）8.5RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009这里的变量V就是交易组合的VaR。VaR

是以下两个变量的函数:T,时间段,和

X,置信水平.8.6RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20098.7RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.1什么风险价值度(VaR)?（续）当使用VaR来检测风险时，我们是在陈述以下事实：“我们有X%的把握，在T时间段，我们的损失不会大于V。”8.8RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.2风险价值度产生的背景之前学习的风险敏感度虽然对交易员管理风险暴露非常有帮助，但对于银行高层管理人员管理整体风险其作用却不大。急需一个能反映整体风险的度量。8.9RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.3VaR的优点风险价值度(valueatrisk-VaR)试图对金融机构的资产组合提供一个单一风险度量，而这一度量恰恰能体现金融机构的整体风险。容易理解。它提出了一个简单的问题：“事情能有多坏？”8.10RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.4VaR计算例子No.1例1.假定一个交易组合在6个月是的收益服从正态分布，分布均值为,μ=$200万美元，标准差

σ=$1000万美元.求置信度,X%,等于99%的风险价值度（VaR）.8.11RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.4VaR计算例子No.1（续）解：

由于–V=μ–x

σ，有风险价值度（VaR）V=–（μ–x

σ）=μ–

N–1(99%)σ

=$2–2.33×$1000万.=2130万因此,对于6个月展望期，在99%置信度下的

VaR

为2130万美元.8.12RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.4VaR计算例子No.1（续）练习：P146,9.68.13RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.4VaR计算例子No.2例2：假定一个1年的项目的最终结果介于

最大$4000万损失和

最大$6000万收益之间.并且在两个极端之间的任何结果具有均等的可能.求：置信度,X,为99%的风险价值度？8.14RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.4VaR计算例子No.2（续）解：由于项目的最终损失结果服从a=–$6000万

到

b=+$4000万的均匀分布.故均匀分布的左侧x%分位数,

V,等于

a+x(b–a).即：风险价值度本V=a+x(b–a)

=–6000+0.99×[4000–(–6000)]=3900.因此,对于1年展望期，在99%置信度下的VaR为$3900万。8.15RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.5VaR

和资本金VaR被监管当局以及金融机构用来确定资本金的持有量。对于市场风险，监管人员所要求的资本金等于10天展望期的99%VaR的至少3倍。在BaselII协议框架下，对信用风险和操作风险，监管人员要求在资本金计算中要采用1年展望期及99.9%置信度计算得出的VaR. 8.16RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.6VaR计算例子No.3损失累计分布由下图所示:8.17RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.6VaR计算例子No.3假定一个1年的项目有98%的概率收益为$200万，1.5%的概率损失为$400万，0.5%的概率损失为$1000万。（1）求99%置信水平的VaR（2）求99.5%置信水平的VaR8.18RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.6VaR计算例子3(续)解（1）根据上图的损失累积分布图可知，对应于99%累计概率的点为$400万。因此，对于1年展望期，在99%置信度下的VaR为$400万。

例3之（2）

（2）由于对于置信度为99.5%的VaR，介于$400万和$1000万美元之间的任何一点的损失，均有99.5%的把握不会被超出，VaR在这一情形下不具有唯一性。

一个合理的选择是将VaR设定为这一区间的中间值。因此,在本例中,在99.5%置信度下的VaR为

$700万。

8.19RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20098.20RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20092、VaR

和ExpectedShortfall使用风险价值度（VaR）遇到的问题：

通过控制VaR额度的方法，不能完全约束交易员的冒险行为，可能会给银行带来额外的风险。考虑如下两者不同的分布函数

8.21RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20092.VaR

和ExpectedShortfall（续）考虑如下两者不同的分布函数VaR1–

XLossProfitProfitLossVaR1–

X2.1预期亏损的定义预期亏损（expectedshortfall，简称ES）(有时也被称为条件预期风险价值度（conditionalVaR,或

C-Var）或条件尾部期望（conditionaltailexpectation）或尾部损失（tailloss）)是在损失超过VaR的条件下的期望值.具有相同

VaR

的两个投资组合可以拥有完全不一样的

expectedshortfall.8.22RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20098.23RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20092.1关于预期亏损的说明具有相同

VaR

的两个投资组合可以拥有完全不一样的

expectedshortfall:VaR1–

XLossProfitVaR1–

XProfitLoss8.24RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20092.2ES计算例子例4：假设有一1,000万的贷款，其违约的概率为2%，如果违约发生，收回本金的数量不确定。但是我们过去的经验告诉我们回收率介于0%与100%的可能性为均等。（1）

请计算置信度为99%的VaR。（2）请计算置信度为99%的ES。8.25RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20093、一致性风险测度一个风险测度（需要添加到资产组合里现金量，以使其风险在可接受范围内）如果满足以下条件，则它一致性的:单调性(如果在所有的不同情形下，第1个交易组合的回报均低于另一个交易组合的回报，那么第1个交易组合的风险度量一定要比另一个更大);平移不变性(如果我们在交易组合中加入K数量的现金，交易组合所对应的风险度量要减少K数量);同质性(假定一个交易组合内含资产品种和相对比例不变，但内含资产的数量增至原数量的λ倍，此时新的交易组合的风险应是原风险的λ

倍);次可加性(两个交易组合相加所组成的一个新交易组合的风险度量小于或等于最初两个交易组合的风险度量的和).8.26RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009VaR

和ExpectedShortfallVaR

满足前三个条件，但是不满足第四个.expectedshortfall

满足所有四个条件.VaR

不满足一致性，也就不是一个一致性风险测度，然而expectedshortfall是一个一致性风险测度.8.27RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009VaR计算例子n.5假定两个独立贷款项目在1年内均有0.02的概率损失$1000万，同时有0.98的概率损失$100万.任意一个单笔贷款在展望期为1年，97.5%的置信度下的VaR为$100万.8.28RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009VaR计算例子n.5如果把两个贷款叠加产生一个资产组合，组合

有96,04%(=98%×98%)的概率损失$2(=$1+$1)00万,

有3,92%(=2×2%×98%)的概率损失$11(=$1+$10=$10+$1)00万，

,

有0,04%(=2%×2%)的概率损失$20(=$10+$10)00万.对于整个组合，在展望期为1年，97.5%的置信度下的VaR为$1100万.单笔贷款所对应VaR的和为$200万.因此,这个投资组合的VaR

比贷款VaR

的总和高$9(=$11–$2)00万.这违反了次可加性.8.29RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009ES计算例子n.6在单一贷款损失概率分布函数的右尾部，有2.0%的概率损失为$1000万，有0.5%的概率损失为$100万.如果我们只计算在单一贷款损失概率分布函数的右尾部2.5%范围内，则有80%[=2,0%/(0,5%+2,0%)]的概率损失为$1000万以及20%[=0,5%/(0,5%+2,0%)]的概率损失为$100万.所以，ES等于$8.2(=$10×0,8+$1×0,2)00万.8.30RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009ES计算例子n.6如果我们考虑贷款组合的话，有0.04%(=2%×2%)的概率损失为$20(=$10+$10)00万以及有2,46%(=2,5%–0,04%)的概率损失为$11(=$10+$1=$1+$10)00万.因此,如果只计算在贷款组合损失概率分布函数的右尾部2.5%范围内，则有1.6%(=0,04%/2,5%)的概率损失为$2000万以及有98.4%(=2,46%/2,5%)的概率损失为$1100万.因此，贷款组合的ES等于$11,144(=$20×0,016+$11×0,984)00万.得出预期亏损满足次可加性条件($8,2+$8,2>$11,144).8.31RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009光谱型风险测度对损失（收益）分布中的所有分位数赋予不同权重，并由此定义光谱型风险测度。VaR

对于第X个分位数设定了100%的权重，而对于其他分位数设定了0权重。ExpectedShortfall

对于高于X%的分位数所有的分位数设定了相同比重.当光谱型风险测度分配给第q个分位数的权重为q的非递减函数时，这一光谱型风险测度一定满足一致性条件。

8.32RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009VaR中的参数选择时间展望期.时间展望期的选取要根据因场合而决定.对于市场风险，监管人员选择10天的展望期；对于信用风险和操作风险，监管人员选择1年的展望期。养老基金通常选择1个月作为展望期.8.33RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009这里面最简单的假设时每天的收益/损失是独立的，0均值，的正态分布。在这种情况下，计算十分方便:可以从标准差计算出

VaR(比如99%的VaR=2,33σ);

N

天的

VaR

可以从1天的

VaR

得出(N

天的

VaR

=正态分布假设1天的VaR

×);8.34RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009自相关如果资产组合每天的变化量是独立同分布的话，N天的方差就等于N倍的1天的方差.如果，投资组合价值每天之间变化满足一阶自相关的话，则N天的方差就从N倍的1天的方差变为

σ2[N+2(N–1)ρ+2(N–2)ρ2+2(N–3)ρ3+...+2ρN–1],

其中ρ

是相关系数.

8.35RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009自相关(续)ρT12510502500,001,001,412,243,167,0715,810,051,001,452,333,317,4316,620,101,001,482,423,467,8017,470,201,001,552,623,798,6219,35注:在计算中，我们假定组合每天价值变化均为正态分布，期望值为0，r为自相关系数。下表展示了当存在一阶自相关时T天的VaR同1天的VaR的比率

VaR中的参数选择置信区间.置信区间的选择与很多因素有关.对于市场风险，监管人员选择置信区间为99%的VaR；对于信用风险和操作风险，置信区间为99.9%。一家银行想保持自己的AA信用评级，常常采用99,97%的置信区间.8.36RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20098.37Ris