高中数学人教A版3第一章计数原理单元测试 市赛获奖

选修2-3第一章1.2.2第一、选择题1．若Ceq\o\al(x,6)＝Ceq\o\al(2,6)，则x的值为eq\x(导学号03960151)()A．2 B．4C．4或2 D．3[答案]C[解析]由组合数性质知x＝2或x＝6－2＝4，故选C．2．(陕西高考)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为eq\x(导学号03960152)()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[答案]C[解析]如图，基本事件共有Ceq\o\al(2,5)＝10个，小于正方形边长的事件有OA、OB、OC、OD共4个，∴P＝1－eq\f(4,10)＝eq\f(3,5).3．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为eq\x(导学号03960153)()A．120 B．84C．52 D．48[答案]C[解析]间接法：Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,4)＝52种．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆eq\x(导学号03960154)()A．220个 B．210个C．200个 D．1320个[答案]A[解析]Ceq\o\al(3,12)＝220，故选A．5．(2023·潍坊高二检测)5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有eq\x(导学号03960155)()A．Aeq\o\al(4,5)种 B．45种C．54种 D．Ceq\o\al(4,5)种[答案]D[解析]由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有Ceq\o\al(4,5)种．6．(2023·佛山高二检测)将标号为A、B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A、B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有eq\x(导学号03960156)()A．12种 B．18种C．36种 D．54种[答案]B[解析]由题意，不同的放法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝3×eq\f(4×3,2)＝18种．二、填空题7．A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有________种(用数字作答).eq\x(导学号03960157)[答案]10[解析]根据题意，要求从A地到B地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则有Ceq\o\al(3,5)＝10种不同的走法，故答案为10.8．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差数列，则Ceq\o\al(12,n)＝\x(导学号03960158)[答案]91[解析]∵Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差数列，∴2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，∴2×eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！)整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝14，n＝7(舍去)，则Ceq\o\al(12,14)＝Ceq\o\al(2,14)＝91.9．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋y2Ceq\o\al(m,n)＝1所表示的不同椭圆的个数为\x(导学号03960159)[答案]6[解析]∵1≤m<n≤5，所以Ceq\o\al(m,n)可以是Ceq\o\al(1,2)，Ceq\o\al(1,3)，Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)，Ceq\o\al(2,4)，Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)，Ceq\o\al(2,5)，Ceq\o\al(3,5)，Ceq\o\al(4,5)，其中C13＝Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)＝Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)＝Ceq\o\al(4,5)，Ceq\o\al(2,5)＝Ceq\o\al(3,5)，∴方程x2＋Ceq\o\al(m,n)y2＝1能表示的不同椭圆有6个．三、解答题10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，eq\x(导学号03960160)(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意两个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中任意三个点为顶点的三角形有多少个？[解析](1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有Ceq\o\al(3,10)＝120(个)．一、选择题1．(2023·广东理，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为eq\x(导学号03960161)()A．eq\f(5,21) B．eq\f(10,21)C．eq\f(11,21) D．1[答案]B[解析]从袋中任取2个球共有Ceq\o\al(2,15)＝105种，其中恰好1个白球1个红球共有Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,5)＝50种，所以恰好1个白球1个红球的概率为P＝eq\f(50,105)＝eq\f(10,21)，故选B．2．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有eq\x(导学号03960162)()A．18对 B．24对C．30对 D．36对[答案]D[解析]三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成Ceq\o\al(4,6)－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线，共有12×3＝36对．二、填空题3．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答).eq\x(导学号03960163)[答案]144[解析]先从四个小球中取两个放在一起，有Ceq\o\al(2,4)种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有Aeq\o\al(3,4)种不同的放法，据分步计数原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,4)＝144种不同的放法．4．一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，则不同熄灯方法有________种.eq\x(导学号03960164)[答案]35[解析]记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数Ceq\o\al(4,7)＝35种．三、解答题5．(2023·遵义高二检测)现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某地.eq\x(导学号03960165)(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？[解析](1)利用分步乘法计数原理得Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)＝60种．(2)利用分类加法与分步乘法计数原理Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)Ceq\o\al(0,4)＝121种．6．已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(x,n)＝C\o\al(2x,n)，,C\o\al(x＋1,n)＝\f(11,3)C\o\al(x－1,n)))，试求x和n的值.eq\x(导学号03960166)[解析]由Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)得x＝2x或x＋2x＝n，即x＝0或n＝3x，显然x＝0时Ceq\o\al(x－1,n)无意义，把n＝3x代入Ceq\o