第十章应力和应变分析、强度理论

第十章应力和应变分析、强度理论1低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁1、问题的提出10.1

应力状态概述2脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁10.1

应力状态概述3FlaS13S平面zMzT4321yx目录10.1

应力状态概述4yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元。10.1

应力状态概述5空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零10.1

应力状态概述6xyα一.斜截面上的应力dAαnt

10.3

二向应力状态分析——解析法1.在微元体上取斜截面α7xya2.正负号规则正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。αntx

10.3

二向应力状态分析——解析法83.列平衡方程推导公式dAαnt

10.3

二向应力状态分析——解析法9利用切应力双生互等定理，即τxy=τyx，经整理后得

10.3

二向应力状态分析——解析法10利用三角函数公式并注意到化简得

10.3

二向应力状态分析——解析法11因为所以4.两个重要结论

10.3

二向应力状态分析——解析法12因为所以

10.3

二向应力状态分析——解析法13结论（1）表示任意两个相互垂直微面上的正应力之和保持不变；结论（2）表示任意两个相互垂直微面上的切应力在数值上相等，即切应力互等定理。

10.3

二向应力状态分析——解析法14二.应力圆将斜截面上应力公式可以看出这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆改写为

10.3

二向应力状态分析——解析法15RC1.应力圆：

10.3

二向应力状态分析——解析法162.应力圆的画法D(sx,txy)E(sy,tyx)cRxy（1）建立坐标系：以σ为横轴，τ为纵轴（2）圆心C坐标：（3）以圆半径R作圆

10.3

二向应力状态分析——解析法17点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力。3、几种对应关系E(sy,tyx)xyD(sx,txy)c

10.3

二向应力状态分析——解析法18圆上任意一点H的坐标—代表平面单元体上任意斜面α的正应力σα和切应力τα；圆上D点的坐标—代表平面单元体上x面（α=00）上的正应力σx和切应力τxy；圆上E点的坐标—代表平面单元体上y面（α=900）上的正应力σy和切应力τyx；

很明显H点是D点沿圆周逆时针旋转2α圆心角而至，所以应力圆上的点与α截面上的应力有一一对应的关系。xyD(sx,txy)cE(sy,tyx)

10.3

二向应力状态分析——解析法19由上面分析可知，单元体上夹角为β的任意两个斜面上的应力对应于应力圆上圆心角之差为2β的圆周上的两个点

10.3

二向应力状态分析——解析法201、解析法：确定正应力极值设α＝α0

时，上式值为零，即三.主应力和主平面即α＝α0

时，切应力为零

10.3

二向应力状态分析——解析法21由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1σ2

σ3

10.3

二向应力状态分析——解析法222、图解法：确定正应力极值从圆上D点顺时针旋转2α0角度到A点、逆时针旋转（1800-2α0）角度到B点，得到应力圆与横轴的两个交点，注意A、B两点的切应力为零，正应力分别取最大值和最小值，即：xyD(sx,txy)cE(sy,tyx)AB

10.3

二向应力状态分析——解析法233、有关说明：如果将平面应力单元看参成是三维应力单元的特例（σz=0），结合本章开始时的讨论，主应力以它们的数值大小排序（σmin＞0），有σ1=σmax，σ2=σmin，σ3=σz=0；若（σmin＜0），则有σ1=σmax，σ2=σz=0

，σ3=σmin。三个主应力所在的平面成称为主平面，主平面是相互垂直的；仅有主应力的应力单元称为主单元体；X截面（D点）与σ1所在平面（A点）的夹角α0决定了主平面的方位；负号表示由D点顺时针旋到A点

10.3

二向应力状态分析——解析法244、切应力的极值：应力圆的最高点和最低点就是最大切应力和最小切应力所在的微面，其上的正应力都是（σx+σy)/2,切应力之值就是应力圆的半径，即最大切应力和最小切应力所在的平面与x截面的夹角为450，与主平面的夹角为（α0

±450

）5、解析法与图解法的比较：解析法不如图解法直观

10.3

二向应力状态分析——解析法25试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。已知

10.3

二向应力状态分析——解析法26解：（1）斜面上的应力

10.3

二向应力状态分析——解析法27（2）主应力、主平面

10.3

二向应力状态分析——解析法28主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：

10.3

二向应力状态分析——解析法29（3）主应力单元体：

10.3

二向应力状态分析——解析法301.定义三个主应力都不为零的应力状态

三向应力状态简介31由三向应力圆可以看出：结论：代表单元体任意斜截面上应力的点，必定在三个应力圆圆周上或圆内。2130

三向应力状态321.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律

10.4

广义胡克定律332、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法

10.4广义胡克定律34

10.4广义胡克定律

若主应变用实测方法测出后，即可用上述三式求得主应力。353、广义胡克定律的一般形式

10.4广义胡克定律

若应变εx、εy、εz用实测方法测出后，即可用上述三式求得正应力σx、σy、σz

。364、广义胡克定律的一般形式——平面应力状态

10.4广义胡克定律

虽然σz

=0（平面应力），但εz≠0，由上式解出应力分量σx、σy。374、广义胡克定律的一般形式——平面应力状态

10.4广义胡克定律若实测出应变εx、εy，即可用上述三式求得正应力σx、σy，进而求出主应力。3810.5强度理论概述（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）1.杆件基本变形下的强度条件概述39满足是否强度就没有问题了？40强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。41构件由于强度不足将引发两种失效形式

(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和畸变能密度理论（形状改变比能理论）

(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论42一、最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值－构件危险点的最大拉应力－极限拉应力，由单拉实验测得10.6四种常用强度理论（σ1＞0）43断裂条件强度条件一、最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁扭转44一、最大拉应力理论（第一强度理论）适用条件：（1）脆性材料在任何应力状态下；（2）若存在压应力，当最大压应力小于最大拉应力时，该理论适用；（3）塑性材料在三向（或接近三向）等拉应力状态时的场合。45二、最大伸长拉应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。－构件危险点的最大伸长线应变－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得（ε1＞0）（单向拉伸）46实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。强度条件断裂条件即二、最大伸长拉应变理论（第二强度理论）47二、最大伸长拉应变理论（第二强度理论）适用条件：（1）脆性材料在单向压缩时沿纵向开裂的脆性断裂；（2）一拉一压的二向应力状态的脆性材料；（3）二向或三向受拉时，此理论与实际情况不符，不能适用；48无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。三、最大切应力理论（第三强度理论）－构件危险点的最大切应力－极限切应力，由单向拉伸实验测得（单向拉伸）49屈服条件强度条件三、最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢扭转50实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性：

2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。三、最大切应力理论（第三强度理论）51无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。四、畸变能密度理论（第四强度理论）－构件危险点的畸变能密度－畸变能密度的极限值，由单拉实验测得（单向拉伸）52屈服条件强度条件实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。四、畸变能密度理论（第四强度理论）53五、莫尔（Mohr)强度理论

该理论是以各种应力状态下材料的破