第八章 非线性控制系统分析

第八章非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义8-1非线性控制系统概述

对于线性系统，描述其运动状态的数学模型量线性微分方程，它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型为非线性微分方程，不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的这种差别，所以它的运动规律是很不相同的。目前，还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定，系统是否产生自持振荡等有关稳定性的分析上。2非线性系统的特征（1）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件无关。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动的最终状态可能完全不同。另外，线性系统只有一个平衡状态，而非线性系统可能存在多个平衡状态例存在两个平衡状态X=1X=0X=1不稳定的平衡状态X=0稳定的平衡状态（2）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡。自激振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡。

对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中不可能产生稳定的自激振荡。-110.52（3）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。3非线性系统的分析与设计方法（1）相平面法（2）描述函数法（3）逆系统法8-2常见非线性及其对系统运动的影响1非线性特性的等效增益对于非线性系统，定义非线性环节输出和输入的比值为等效增益变增益因而可将非线性特性视为变增益比例环节。2常见非线性因素对系统运动的影响下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固有的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。功能：改善系统性能的切换元件（1）继电器特性（3）饱和特性（2）死区特性危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对稳定性，使系统产生自持振荡。危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对稳定性，使系统产生自持振荡。（4）间隙特性8-3相平面法相平面法是一种通过图解法求解一、二阶非线性系统的准确方法。1．基本概念设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述和称为系统运动的相变量，以为横坐标，以为纵坐标的平面称为相平面。在相平面上绘制的轨迹称为相轨迹，在相轨迹上用箭头符号表示时间的增加方向。2相轨迹的绘制方法（1）解析法相轨迹在某些特定情况下，可以通过积分法，直接由微分方程获得和的解析关系式，因为：由非线性方程得：

例8-1：给定二阶系统，初始条件为，确定系统自由运动的相轨迹。

解：利用可得积分得：即整理得：例2给定系统解：由方程可得：由初始条件可知：M=1M=-1（２）图解法——等倾线法前面得到相轨迹的微分方程：该方程为相轨迹在相平面任一点的切线的斜率，令该斜率为一常数，则有，即：上式称为等倾线方程，由该方程可在相平面上做一条曲线称为等倾线。当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为。取为若干不同的常数，既可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点作斜率为的短直线，并以箭头表示切线方向，构成相轨迹的切线方向场。由初始点出发，沿等倾线绘制出系统的相轨迹。步骤：a.根据等倾线方程式，做出不同a值的等倾线b.根轨初始条件确定相轨迹的起始点c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二.第三等倾线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。例

采用等倾线法画出给定系统的相轨迹：解：系统可以写作令，则有系统化为当等倾线方程为等倾线方程显然为直线，该等倾线的斜率为

1上半平面：，x增加方向从左到右

2下半平面：，x减少方向从右到左总结：相轨迹的特点3所有的轨迹如果穿过x轴，则方向必定是垂直的。

3线性系统的相轨迹（1）线性一阶系统的相轨迹T<0T>0（2）线性二阶系统的相轨迹(a)(b)b=0a>0a<0a>0a<0时可写为cc4．奇点和奇线以微分方程表示的二阶系统，其相轨迹上每一点切线的斜率为，若在某点处和同时为零，即有的不定形式，则称该点位相平面的奇点。

相轨迹在奇点处切线的斜率不定，因此，在该点多条相轨迹相交；而在非奇点，相轨迹的切线斜率是一个确定的值，故经过非奇点的相轨迹只有一条。由奇点定义知，起点一定位于相平面的横轴上。在奇点处，系统的速度与加速度同时为零。对于二阶系统来讲，系统不再发生运动，处于平衡状态，故相平面的起点亦称为平衡点（1）奇点根与相轨迹j0j0j0节点稳定焦点中心不稳定节点不稳定节点鞍点λ1j0λ2j0λ2λ1j0λ1λ2

极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。

（1）稳定极限环在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛与该极限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。（2）奇线

在非线性系统中，有时会产生特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域。这种特殊的相轨迹出称为奇线。最常见的奇线是极限环（2）不稳定极限环在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。（3）半稳定极限环如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。5非线性系统的相平面分析法

一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的，因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转换线。因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。用相平面法分析非线性系统的一般步骤：（1）将非线性特性用分段的直线特性来表示，写出相应线段的数学表达式。（2）首先在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。（3）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。（4）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。（5）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线性系统的相轨迹。（6）基于该相轨迹，全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性2.非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号8-4描述函数法

基本思想：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可以用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。

描述函数主要用来分析无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自振荡问题1描述函数的基本概念描述函数的定义非线性环节：当输入信号为：时，非线性环节的输出为非正弦的周期信号，可以展成傅里叶级数：若且当n>1时，均很小定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数N(X)

G(jω)描述函数分析的应用条件（1）系统应简化为一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式（2）y（x）是X的奇函数，即或,以保证A0=0（3）系统