第五章杆件基本变形横截面上的应力

工程力学第五章杆件基本变形横截面上的应力1第五章杆件基本变形横截面上的应力§5-1拉伸与压缩变形横截面上的应力

§5-3纯弯曲横截面上的应力§5-2扭转变形横截面上的应力§5-4横力弯曲横截面上的应力2变形现象变形现象：平面假设平面假设：横截面上只有，无。FN静力学关系横线在变形前后均为直线，且都垂直于杆的轴线，只是横线间距增大，纵线间距减小；变形前的横截面，变形后仍为平面，仅沿轴线产生了相对平移，并与杆的轴线垂直。§5-1拉伸与压缩变形横截面上的应力3a.变形几何条件：任意两个横截面之间的所有纵向线段的伸长(缩短)量相同，即变形相同。b.物理关系：变形相等，各点受力相等，(<P)，各点应力相等。c.静力学关系：该式为横截面上的正应力s计算公式。正应力s和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。4讨论：b.变截面杆：c.在集中力作用点的附近区域（1~1.5倍的横向尺寸。

），应力不是均匀分布，不能用上式计算应力；但越过这一区域则符合实际情况。d.压缩时的压应力计算仍可用此式,所得为压应力。一般规定拉应力为正，压应力为负。a.使用条件：，与A成反比），圣维南原理5常见的油孔、沟槽等均有构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现象。1、形状尺寸的影响：2、材料的影响：应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。称为理论应力集中因数尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。6ABCDFFF讨论题：图示阶梯杆AD受三个集中力F作用，设AB，BC，CD段的横截面面积分别为A，2A，3A，则三段杆的横截面上()。轴力不等，应力相等；(b)轴力相等，应力不等；(c)轴力和应力都相等；(d)轴力和应力都不等。a7例5-1、图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。解：1、计算各杆件的轴力用截面法取与节点B相连的部分为研究对象ABCF1245°45°FN1FN2xy82、计算各杆件的应力9推断应力-应变关系§5-2

扭转变形横截面上的应力一、圆轴扭转横截面上的应力表面变形情况横截面的变形情况(几何关系)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律(物理关系)内力与变形的关系横截面上应力的计算公式(静力平衡)10圆轴扭转变形11表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度g

。平面假设——等直圆杆扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力。1、几何关系12横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：即13

式中——相对扭转角j沿杆长的变化率，常用j'

来表示，对于给定的横截面为常量。可见，在横截面的同一半径

r

的圆周上各点处的切应变gr

均相同；gr与r

成正比，且发生在与半径垂直的平面内。切应变垂直于半径。142、物理关系:这表明，横截面上各点的剪应力与该点到截面中心的距离成正比，其方向垂直于半径。即剪应力沿截面的半径呈线性分布。由上述两方程可得：...

(1)tg153、静力平衡其中

称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式以

代入上式得：rOdAdArrTtt16式中Wt称为抗扭截面系数(模量)，其单位为m3。横截面周边各点即处的切应力最大,为：17二、极惯性矩

IP

与抗扭截面模量

Wt

的常用值：(1)实心圆截面：(2)空心圆截面：其中，为内外径之比。dD18(三)薄壁圆截面Or三、强度计算横截面上最大切应力：所有横截面上最大应力：强度条件：19ABCD12345例5－2、图示为某组合机床主轴箱第4轴示意图。试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的剪应力及最大剪应力。ⅡⅡMA=15.9kN.mMB=MC=4.78kN.mMD＝6.37kN.md=110mmABCD4MAMBⅡⅡMCMD20解：1、内力分析4.789.566.37xT(kNm)ABCD4MAMBⅡⅡMCMD1133+_

由扭矩图得知T2=9.56kN.m危险横截面在AC段，2、应力计算MA=15.9kN.mMB=MC=4.78kN.mMD＝6.37kN.md=110mmTmax=9.56kN.m21xdydzdxyz二、切应力互等定理ττ在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向于y轴平行.

可知，两侧面的内力元素dydz大小相等，方向相反，将组成一个力偶。由平衡方程其矩为(dydz)dx22要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得(dydz)dxxdydzdxyzττ剪应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，剪应力成对存在且数值相等，两者都垂直于这两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离该交线。23梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲§5-3纯弯曲横截面上的应力FSxxMFaFaF+FFACDBFFFF一、基本概念24凹入一侧纤维缩短凸出一侧纤维伸长中间一层纤维长度不变－－中性层中间层与横截面的交线－－中性轴纵向对称面中性层中性轴梁的弯曲实验25

横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

横截面上只有正应力。

单向受力假设：纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。26二、正应力公式推导abcdABOO1xyA1B1O1Odqrxy))))1、几何关系27

2、物理关系

纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应力状态。??MyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比应力分布规律283、静力关系中性层的曲率半径r中性轴的位置待解决问题MyzOx横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量FNMzMydAzysdA(1)(2)(3)29将应力表达式代入(1)式，得将应力表达式代入(2)式，得中性轴通过横截面形心自然满足(1)(2)30纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:将应力表达式代入(3)式，得(3)MM为梁横截面上的弯矩y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩31讨论

MM

(1)应用公式时,一般将M,y

以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断

的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(

为正号).凹入边的应力为压应力(为负号).(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处引用记号——抗弯截面系数(3)当中性轴为对称轴时则公式改写为32常见截面的抗弯截面系数矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy33(4)对于中性轴不是对称轴的横截面zyM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式求得相应的最大正应力34§5-4横力弯曲时横截面上的应力弹性力学精确分析表明，当跨度l

与横截面高度h

之比l/h>5

（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。横力弯曲最大正应力一、横力弯曲正应力弯曲正应力ABlFFSxFxMFl35弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力：纯弯曲或细长梁的横力弯曲横截面惯性积Iyz=0弹性变形阶段抗拉与抗压的弹性模量相同36例5-3、矩形等截面梁，L=3m，h=150mm，b=100mm，q=3kN/m，yk=50mm，[s]=10MPa，求危险截面上K点的正应力sk，及最大正应力。ABlFAFB解：1、外力分析zbKyKh2、内力分析(M图)：xMl/2+危险截面在l/2处3)应力分析：37例5－4、槽形截面铸铁外伸梁，已知：q=10kN/m，F=20kN，Iz=4.0×107mm4,y2=140mm，y1=60mm，求危险截面最大应力。zyy1y2（中性轴）2mqAE2m2mFBD解：2、内力分析(M图)可能的危险截面B、D。xMO20kN.m10kN.m+_1、外力分析FBFE38可能的危险截面B、D。B截面D截面3、应力分析39二、横力弯曲切（剪）应力1、矩形截面梁的切应力切应力t的两个假设：FSxABmm1nn1dx1）t//FS,方向相同