第二章数学模型

系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各个变量之间关系的数学表达式。描述各变量动态关系的表达式称为动态数学模型。常用的数学模型为微分方程。第二章控制系统的数学模型时域分析法的基础，以拉普拉斯变换为工具1第一节控制系统的微分方程第三节传递函数第四节动态结构图第二章自动控制系统的数学模型第二节数学模型的线性化2第一节控制系统的微分方程一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分方程的建立三、线性微分方程式的求解第二章自动控制系统的数学模型3建立系统数学模型，一般采用解析法和实验法。解析法:依据系统及元部件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并经实验验证，从而建立系统的数学模型。

实验法:对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。4控制系统微分方程的建立首先了解系统的组成、工作原理，然后根据支配各组成元件的物理定律，列写整个系统输入变量与输出变量之间的动态关系式，即微分方程。列写微分方程的一般步骤：①分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量（变量）之间的关系，确定系统和各元件的输入、输出变量。5②从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写动态关系式，一般为一个微分方程组。③对已建立的原始方程进行处理，忽略次要因素，简化原始方程，如对原始方程进行线性化等。④消除中间变量，写出关于输入、输出变量之间关系的数学表达式，即微分方程。6根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立RC无源网络的微分方程。输入量为电压ur(t),输出量为电压uc(t)i(t)为流经电阻R和电容C的电流，消去中间变量i(t)7令RC=T，则上式又可写为式中：T称为无源网络的时间常数,单位为秒(s)通常把输出变量写在等式的左边,输入变量写在等式的右边。8系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。第一节控制系统的微分方程系统微分方程的一般表达式为：+dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1b1+···dmr(t)+dr(t)dtbm-1anc(t)+···dnc(t)dtna0+dn-1c(t)dt

n-1a1+dc(t)dtan-1+9拉氏变换拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的一个重要数学工具,把时域中的微分方程变换成复域中的代数方程，使微分方程的求解简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。10用拉氏变换解微分方程示意图11r(t)=δ(t),c(0)=c'(0)=0+2c

(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dt用一个例子来说明采用拉氏变换法解线性定常微分方程的方法。三、线性微分方程式的求解例

已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。第一节控制系统的微分方程12

解：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)将方程两边求拉氏变换得：R(s)=1C

(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11求拉氏反变换得：c(t)=e–t

sint13输出响应曲线第一节控制系统的微分方程c(t)r(t)r(t)t0c(t)142－2非线性微分方程的线性化在工程实际中，构成的系统都具有不同程度的非线性，如下图所示15非线性微分方程求解非常困难，通常首先考虑线性化方案。

对弱非线性的线性化如图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。

平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系为缓慢变化曲线的非线性16在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数进行泰勒展开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。17可得，简记为y=kx。若非线性函数有两个自变量，如z＝f（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）线性化后，把非线性关系变成了线性关系，使问题大大简化。如果图（d）所示的非线性为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。18叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。例：设线性微分方程式为若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当＋时，必存在解为，即为可叠加性。19

上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。若时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。20第三节传递函数一、传递函数的定义及求取二、典型环节的传递函数及其动态响应

拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型—传递函数。第二章自动控制系统的数学模型21第三节传递函数输出拉氏变换一、传递函数的定义及求取系统的结构图输入输入拉氏变换输出传递函数的定义：零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。G(S)R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=22传递函数性质：（1）传递函数只适用于线性定常系统。（2）传递函数取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关。（3）传递函数一般为复变量S的有理分式。（4）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条件下系统的运动过程。将传递函数中的分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即第三节传递函数23第三节传递函数式中：K0—为放大系数S=S1,S2···,Sn—传递函数的极点S=Z1,Z2···,Zm—传递函数的零点传递函数分母多项式就是相应微分方程的特征多项式，传递函数的极点就是微分方程的特征根。G(s)=K0(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–s1)(s

–s2)···(s

–sn

)n>=m24这里，“初始条件为零”有两方面意思：一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。25传递函数的概念与定义G(s)Ur(s)Uc(s)26传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：二、关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章。）27传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当时，，所以一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。28可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。二、典型环节的传递函数及其动态响应第三节传递函数29C(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例环节系数拉氏变换:比例环节的传递函数:1．比例环节微分方程:KR(s)C(s)G(s)==K第三节传递函数30第三节传递函数

比例环节方框图

KR(S)C(S)特点:输出不失真,不延迟,成比例地复现输入信号的变化.31K=-R1R2比例环节实例(a)-∞++urR1ucR2由运算放大器构成的比例环节(b)线性电位器构成的比例环节K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)r(t)c(t)iK=i(c)传动齿轮构成的比例环节第三节传递函数322．惯性环节惯性环节的微分方程:

+c

(t)=Kr(t)dc(t)dtT—时间常数—比例系数式中KT惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=第三节传递函数拉氏变换：TsC

(s)+C

(s)=KR(s)33

第三节传递函数单位阶跃信号作用下的响应:惯性环节方框图R(S)C(S)1+Ts1c(t)=K(1–e)tT-拉氏反变换得:R(s)=1sKTs

+

11s·C(s)=34单位阶跃响应曲线特点:输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化.第三节传递函数r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.63235-∞++R1R2urucC惯性环节实例(a)运算放大器构成的惯性环节R1CS+1R1/R2G(s)=–第三节传递函数36

第三节传递函数(b)RC电路构成的惯性环节R+-u(t)CuC(t)RRCS

+1G(s)=–37R(s)C(s)G(s)==1TsTTsC(s)=R(s)

=r(t)dc(t)dtT微分方程：—积分时间常数3．积分环节传递函数：拉氏变换：第三节传递函数38

第三节传递函数积分环节方框图R(S)C(S)Ts1积分环节的单位阶跃响应：R(s)=1S1TS1S·C(s)=1TS2=1TC(t)=t39单位阶跃响应曲线输出量与输入量对时间的积分成正比，具有滞后作用和记忆功能.特点:第三节传递函数r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T40积分环节实例(a)由运算放大器构成的积分环节-∞++R0ucCur1RCSG(s)=–第三节传递函数41

(b)电机构成的积分环节+-UdMθSKG(s)=第三节传递函数424．微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节数学模型：—微分时间常数微分环节方框图单位阶跃响应函数：c(t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)==TsC(t)=Tδ(t)第三节传递函数43单位阶跃响应曲线理想脉冲实际中是不可能实现的，实际的物理装置中常用近似理想微分环节。第三节传递函数r(t)t0c(t)c(t)r(t)44G(s)=RCs(a)近似理想微分环节实例-Δ∞++RucCur运算放大器构成的微分环节第三节传递函数45

第三节传递函数(b)RC电路构成的微分环节+-uc+-CRurRCsRCS+1

G(s)=TsTs+1=T=RC<<1G(s)Ts46实用微分环节的单位阶跃响应:

C(s)TsTs+1=1s=1s+1/T

c(t)=etT-第三节传递函数47

第三节传递函数输出量反映了输入量的变化率，不反映输入量本身的大小.特点:单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)48采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-Δ∞++由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，常采用比例微分环节。

传递函数：单位阶跃响应：c(t)=KTδ(t)+K=K[Tδ(t)+1]R(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)第三节传递函数49单位阶跃响应曲线第三节传递函数1c(t)r(t)r(t)t0c(t)505.振荡环节微分方程：

+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—时间常数—阻尼比ζT传递函数：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζ第三节传递函数51

第三节传递函数G(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=

—无阻尼自然振荡频率单位阶跃响应：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e振荡环节方框图S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)52单位阶跃响应曲线第三节传递函数1c(t)r(t)r(t)t0c(t)531

ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常见振荡环节的实例：（1）弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统

（2）他激直流电动机

1/CeTaTms2+Tms+1=Ua(s)N(s)G(s)=第三节传递函数54

第三节传递函数（3）RLC电路1

LCs2+RCs+1=Ur(s)Uc(s)G(s)=55R(s)C(s)G(s)==e

-τs=eτs1c(t)=r(t–τ)·1(t–τ)R(S)C(S)e-as6．时滞环节—延时时间数学模型：时滞环节方框图传递函数：第三节传递函数56

时滞环节作近似处理得第三节传递函数G(s)=es1=1+τS+2!2S2+···1τ1+τs157阶跃响应曲线返回第三节传递函数1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ58第四节动态结构图一、建立动态结构图的一般方法二、动态结构图的等效变换与化简动态结构图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。第二章自动控制系统的数学模型59一、建立动态结构图的一般方法例2-3设一RC电路如图所示。画出系统的动态结构图。+-uruc+-CiR

RC电路解：初始微分方程组：ur=Ri+ucduci=dtc第四节动态结构图60

第四节动态结构图取拉氏变换：即Ur(s)=RI(s)+Uc(s)I(s)=CSUc(s)=I(s)RUr(s)–Uc(s)Uc(s)=I(s)·1CS用方框表示各变量间关系Ur(s)1R_I(s)Uc(s)Uc(s)I(s)1CSUc(s)I(s)1CS61

第四节动态结构图根据信号的流向，将各方框依次连接起来，即得系统的动态结构图。

由图可见，系统的动态结构图一般由四种基本符号构成：信号线、综合点、方框和引出点。

62（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传递函数、输入量和输出量。（3）根据信号在系统中的流向，依次将各方框连接起来。第四节动态结构图绘制动态结构图的一般步骤为:63

绘制动态结构图64二、动态结构图的等效变换与化简系统的动态结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数。1．动态结构图的等效变换等效变换：被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后保持不变。第四节动态结构图65（1）串联两个环节串联的变换如图：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效可得n个环节的串联

G

(s)=Σ

Gi

(s)ni=1第四节动态结构图66R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2)并联两个环节的并联等效变换如图：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)++G2(s)R(s)C(s)G1(s)n个环节的并联

G

(s)=Σ

Gi

(s)ni=1第四节动态结构图67

E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)C(s)H(s)+–1±

G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反馈连接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±环节的反馈连接等效变换：根据框图则另：得：R(s)C(s)1±

G(s)H(s)G(s)=C

(s)=E(s)G(s)第四节动态结构图68（4）综合点和引出点的移动1)

综合点之间或引出点之间的位置交换引出点之间的交换：b综合点之间交换：bc±aa±b±c±cba±c±baaaaaa第四节动态结构图692）综合点相对方框的移动前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)±C(s)1G(s)F(s)后移：R(s)C(s)G(s)±F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)±C(s)G(s)F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±第四节动态结构图70

3)引出点相对方框的移动C(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)1C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)第四节动态结构图71G1(s)G2(s)G3(s)H(s)__+R(s)C(s)a移动aG2(s)+_G2(s)H(s)例

化简系统的结构图，求传递函数。先移动引出点和综合点，消除交叉连接，进行等效变换，最后求得系统的传递函数。解：a第四节动态结构图72

第四节动态结构图G1(s)G2(s)G3(s)G2(s)H(s)+__R(s)C(s)交换比较点73

等效变换后系统的结构图：第四节动态结构图G1(s)G2(s)+G3(s)11+G2(s)H(s)_R(s)C(s)求得系统的传递函数:R(s)C(s)G1(s)G2(s)+G3(s)=1+G2(s)H(s)+G1(s)G2(s)+G3(s)74

例：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。75

解题方法一将综合点2后移，然后与综合点3交换。F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)±C(s)G(s)F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±76例

（解题方法一之步骤4）内反馈环节等效变换77例（解题方法一之步骤5）内反馈环节等效变换结果78例2（解题方法一之步骤6）串联环节等效变换79例

（解题方法一之步骤7）串联环节等效变换结果80例

（解题方法一之步骤8）内反馈环节等效变换81例

（解题方法一之步骤9）内反馈环节等效变换结果82例

（解题方法一之步骤10）反馈环节等效变换83例

（解题方法一之步骤11）等效变换化简结果84解题方法285结构图化简步骤小结确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。86结构图化简注意事项：有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；尽量避免综合点和引出点之间的移动。87梅逊公式参数解释：五、用梅逊（S.J.Mason）

公式求传递函数88注意事项：“回路传递函数”是指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积，并且包含代表反馈极性的正、负号。89例

系统的动态结构图如图所示，求闭环传递函数。G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)解：系统有5个回路，各回路的传递函数为L1L1=–G1G2H1L2L2=–G2G3H2L3L3=–G1G2G3L4L4=–G1G4L5L5=–G4H2ΣLiLj

=0ΣLiLj

Lz

=0Δ

=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2P1=G1G2G3Δ1=1P2=G1G4Δ2=1将△、Pk

、△k代入梅逊公式得传递函数：G1G2G3+G1G41+G