2017-2018版高中数学第一章立体几何初步7.1简单几何体的侧面积学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE23学必求其心得，业必贵于专精PAGE7．1简单几何体的侧面积学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法。2。了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式;能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题。3.培养空间想象能力和思维能力．知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1圆柱OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？思考2圆锥SO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？思考3圆台OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少?表面积为多少？梳理圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝________侧面积：S侧＝________表面积：S＝__________圆锥底面积：S底＝________侧面积:S侧＝________表面积：S＝________圆台上底面面积:S上底＝________下底面面积:S下底＝________侧面积：S侧＝________________表面积：S＝________________________知识点二直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积思考1类比圆柱侧面积的求法,你认为怎样求直棱柱的侧面积？如果直棱柱底面周长为c，高为h，那么直棱柱的侧面积是什么?思考2正棱锥的侧面展开图如图，设正棱锥底面周长为c，斜高为h′，如何求正棱锥的侧面积?思考3下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？梳理棱柱、棱锥、棱台侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝c·hc—底面周长h—高正棱锥S正棱锥侧＝eq\f(1,2)c·h′c—底面周长h′—斜高正棱台S正棱台侧＝eq\f（1,2)(c＋c′）·h′c、c′-上、下底面周长h′—斜高类型一旋转体的侧面积(表面积）例1(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4(2）圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm。它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么圆台的表面积是________cm2.（结果中保留π）反思与感悟圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．跟踪训练1（1）圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为()A．6π(4π＋3)B．8π（3π＋1）C．6π（4π＋3)或8π(3π＋1）D．6π(4π＋1）或8π(3π＋2)（2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为（)A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶4类型二多面体的侧面积(表面积)及应用例2某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()A．8＋2eq\r（2) B．11＋2eq\r(2)C．14＋2eq\r(2） D．15反思与感悟多面体中的有关计算通常转化为平面图形（三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形．跟踪训练2已知正四棱台上底面边长为4cm,侧棱和下底面边长都是8cm，求它的侧面积．类型三组合体的侧面积(表面积)eq\x(命题角度1由三视图求组合体的表面积)例3某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是________cm2。反思与感悟对于此类题目：（1)将三视图还原为几何体;(2）组合体的表面积应注意重合部分的处理．跟踪训练3一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为________m2.eq\x（命题角度2由旋转形成的组合体的表面积）例4已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°,在平面ABCD内，过C作l⊥CB,以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积．反思与感悟（1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响．(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体,要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．跟踪训练4已知△ABC的三边长分别是AC＝3,BC＝4,AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．1．一个圆锥的表面积为πam2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（)A.eq\f（\r(2a),2)mB。eq\f（\r(3a)，3）mC.eq\f（\r(a）,2）mD。eq\f（\r(5a),5)m2．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是eq\f(3,2)cm.则三棱台的侧面积为（）A．27eq\r(3)cm2 B。eq\f(27\r(3），2)cm2C。eq\f(\r(3）,2)cm2 D。eq\r(3）cm23．一个几何体的三视图（单位长度：cm)如图所示，则此几何体的表面积是（)A．（80＋16eq\r(2）)cm2 B．84cm2C．(96＋16eq\r(2)）cm2 D．96cm24．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是________．5．正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的侧面积．1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解．3．S圆柱表＝2πr（r＋l);S圆锥表＝πr(r＋l);S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2）．答案精析问题导学知识点一思考1S侧＝2πrl，S表＝2πr（r＋l）．思考2底面周长是2πr，利用扇形面积公式得S侧＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl,S表＝πr2＋πrl＝πr（r＋l）．思考3圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，eq\f(x，x＋l）＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f（r，R－r)l.S扇环＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1，2)（x＋l）×2πR－eq\f（1,2）x·2πr＝π［(R－r)x＋Rl]＝π（r＋R）l，所以，S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π（r2＋rl＋Rl＋R2）．梳理2πr22πrl2πr（r＋l）πr2πrlπr（r＋l)πr′2πr2π（r′l＋rl）π（r′2＋r2＋r′l＋rl）知识点二思考1利用直棱柱的侧面展开图求棱柱的侧面积．展开图如图，不难求得S直棱柱侧＝ch。思考2正棱锥的侧面积就是展开图中各个等腰三角形面积之和,不难得到S正棱锥侧＝eq\f(1,2）ch′。思考3S正棱台侧＝eq\f(1，2）n(a＋a′）h′＝eq\f（1,2）（c＋c′）h′。题型探究例1(1）D（2)1100π解析（1）由三视图可知，该几何体为：故表面积为πr2＋eq\f（2πr，2）l＋l2＝π＋2π＋4＝3π＋4。(2)如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10,所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20,所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al（2,1）＋πreq\o\al（2,2)＝π(10＋20）×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2）．故圆台的表面积为1100πcm2.跟踪训练1（1)C［由题意,圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①当以边长为6π的边为母线时,4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，所以S底＝4π，所以S表＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1）．②当以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长,则2πr＝6π，即r＝3，所以S底＝9π，所以S表＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．］(2）C[如图所示，PB为圆锥的母线,O1，O2分别为截面与底面的圆心．因为O1为PO2的中点,所以eq\f（PO1，PO2)＝eq\f(PA，PB）＝eq\f（O1A,O2B)＝eq\f(1，2)，所以PA＝AB，O2B＝2O1A。又因为S圆锥侧＝π·O1A·PA，S圆台侧＝π·(O1A＋O2B）·AB，则eq\f（S圆锥侧，S圆台侧)＝eq\f（O1A·PA,O1A＋O2B·AB)＝eq\f（1，3).］例2B［该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．S表＝2×eq\f（1,2）×（1＋2）×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×eq\r(2）＝11＋2eq\r(2），故选B.］跟踪训练2解方法一在Rt△B1FB中,B1F＝h′，BF＝eq\f(1,2）（8－4)＝2（cm),B1B＝8cm，∴B1F＝eq\r(82－22）＝2eq\r（15）(cm),∴h′＝B1F＝2eq\r(15）cm。∴S正棱台侧＝eq\f(1,2)×4×（4＋8）×2eq\r（15)＝48eq\r(15）（cm2)．方法二延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，设PB1＝xcm,则eq\f（x,x＋8）＝eq\f（4,8)，得x＝8cm。∴PB1＝B1B＝8cm，∴E1为PE的中点．∴PE1＝eq\r（82－22)＝2eq\r（15）(cm）．PE＝2PE1＝4eq\r(15）cm。∴S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧＝4×eq\f(1，2)×8×PE－4×eq\f（1，2)×4×PE1＝4×eq\f（1,2)×8×4eq\r（15)－4×eq\f（1，2）×4×2eq\r（15)＝48eq\r（15)（cm2）．例3138解析将三视图还原为长方体与直三棱柱的组合体，再利用表面积公式求解．该几何体如图所示,长方体的长，宽，高分别为6cm，4cm,3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3cm,4cm，5cm，所以表面积S＝［2×（4×6＋4×3)＋3×6＋3×3］＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(5×3＋4×3＋2×\f(1,2)×4×3））＝99＋39＝138（cm2）．跟踪训练312π＋4eq\r(2）π例4解如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的．在直角梯形ABCD中，AD＝a,BC＝2a，AB＝（2a－a）tan60°＝eq\r（3）a，DC＝eq\f（2a－a,cos60°)＝2a，又DD′＝DC＝2a，则S表＝S圆柱表＋S圆锥侧－S圆锥底＝2π·2a·eq\r(3）a＋2π·(2a)2＋π·a·2a－πa2＝(9＋4eq\r（3)）πa2.跟踪训练4解如图,在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为点D。由AC＝3，BC＝4，AB＝5,知AC2＋BC2＝AB3，则AC⊥BC。所以BC·AC＝AB·CD，所以CD＝eq\f（12，5），记为r＝eq\f(12,5)，那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝eq\f（12,5)，母线长分别是AC＝3,BC＝4，所以S表面积＝πr·(AC＋BC）＝π×eq\f（12，5)×（3＋4)＝eq\f(84，5)π。当堂训练1．B2．B［如图，O1，O分别是上、下底面中心，则O1O＝eq\f（3,2）cm,连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，过D1作D1E⊥AD于点E.在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝eq\f（3,2)cm，DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝eq\f(1,3)×eq\f（\r(3)，2)×(6－3)＝eq\f(\r（3）,2）(cm），DD1＝eq\r（D1E2＋DE2）＝eq\r(，\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，2)）)2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3),2））)2)＝eq\r（3)(cm），所以S正三棱台侧＝eq\f(1,2）(c＋c′)·DD1＝eq\f（27\r（3),2)（cm2)．］3．A4.55．解设正三棱锥底面边长为a,斜高为h′，如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，则SE⊥AB，且SE＝h′。因为S侧＝2S底，所以eq\f(1，2）×3a×h′