2017-2018版高中数学第一章计数原理3组合第2课时组合的应用学案2-3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18学必求其心得，业必贵于专精PAGE第2课时组合的应用学习目标1。能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题。2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合应用题的解法1．无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值;四、作答．2．有限制条件的组合应用题的解法常用解法有:直接法、间接法．可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步,或按从同一位置选取的元素个数的多少分类．类型一有限制条件的组合问题例1去年7月23日，某铁路线发生特大交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？（2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?反思与感悟(1）解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样,都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含"“不含"等的确切含义，正确分类，合理分步．(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时,可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．跟踪训练1男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．类型二与几何有关的组合应用题例2如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2,…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4。(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个?(2）以图中的12个点(包括A，B）中的4个点为顶点,可作出多少个四边形？反思与感悟(1）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．（2）在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内,其余点无三点共线,四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（)A．205B．110C．204D．200类型三分组、分配问题命题角度1不同元素分组、分配问题例3有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？(1）分成三组，每组分别有1本，2本，3本；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成三组,每组都是2本；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．反思与感悟分组、分配问题的求解策略常见形式处理方法非均匀不编号分组n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－（m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1）均匀不编号分组将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为eq\f（A,A\o\al(r,r）)(其中A为非均匀不编号分组中的分法数)．如果再有k组均匀组应再除以Aeq\o\al（k,k)非均匀编号分组n个不同元素分成m组,各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A·Aeq\o\al（m,m）均匀编号分组n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为eq\f(A,A\o\al(r，r))·Aeq\o\al(m，m）跟踪训练3某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则不同的安排方法的种数为（)A．24B．48C．96D．114命题角度2相同元素分配问题例4将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3，4的盒子，求下列方法的种数．（1）每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3）恰有两个空盒子．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略（1）隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒"．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．（2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m），有Ceq\o\al(m－1,n－1）种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班．（1）每班至少有1个名额,有多少种分配方案？（2）每班至少有2个名额，有多少种分配方案?(3)每班的名额不能少于其班号数，有多少种分配方案？(4)可以允许某些班级没有名额,有多少种分配方案？1．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有()A．70种 B．80种C．100种 D．140种2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有（）A．210种 B．420种C．56种 D．22种3．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种 B．48种C．96种 D．192种4．直角坐标平面xOy上,平行直线x＝n(n＝0,1,2,…，5)与平行直线y＝n（n＝0，1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有（)A．25个 B．36个C．100个 D．225个5．要从12人中选出5人参加一次活动,其中A，B，C三人至多两人入选，则有________种不同选法．1．无限制条件的组合应用题的解题步骤(1)判断．（2)转化．（3）求值．(4)作答．2．有限制条件的组合应用题的分类（1）“含"与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲,特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易,则从反面入手，寻找问题的突破口,即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．（2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时,应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系,将几何问题抽象成组合问题来解决．（3）分组、分配问题:分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同,是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同,仍然是可区分的．

答案精析题型探究例1解(1）分两步：首先从4名外科专家中任选2名,有Ceq\o\al（2,4）种选法，再从除外科专家的6人中选取4人,有Ceq\o\al(4,6)种选法，所以共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al（4,6）＝90(种）抽调方法．（2）“至少"的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家,共有Ceq\o\al（2，4)Ceq\o\al(4,6)种选法；②选3名外科专家，共有Ceq\o\al（3,4)Ceq\o\al（3,6）种选法；③选4名外科专家，共有Ceq\o\al（4,4)Ceq\o\al(2,6）种选法．根据分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(2,4）Ceq\o\al(4，6）＋Ceq\o\al(3,4）Ceq\o\al(3，6）＋Ceq\o\al（4,4）Ceq\o\al(2,6）＝185(种)抽调方法．方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有Ceq\o\al（6，10）种选法，若选取1名外科专家参加，有Ceq\o\al（1,4）Ceq\o\al(5,6)种选法;没有外科专家参加，有Ceq\o\al（6,6）种选法，所以共有Ceq\o\al（6，10）－Ceq\o\al(1，4）Ceq\o\al（5，6)－Ceq\o\al（6,6）＝185（种）抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”和“有2名"三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有Ceq\o\al(6,6)种选法；②有1名外科专家参加，有Ceq\o\al（1，4）Ceq\o\al（5，6）种选法；③有2名外科专家参加，有Ceq\o\al(2，4）Ceq\o\al（4，6)种选法．所以共有Ceq\o\al(6，6)＋Ceq\o\al（1,4)Ceq\o\al（5，6)＋Ceq\o\al(2，4)Ceq\o\al（4,6）＝115（种）抽调方法．跟踪训练1解(1)第一步：选3名男运动员，有Ceq\o\al（3，6)种选法；第二步：选2名女运动员，有Ceq\o\al（2,4)种选法，故共有Ceq\o\al（3，6)·Ceq\o\al(2，4）＝120（种）选法．(2）方法一(直接法）：“至少有1名女运动员"包括以下几种情况,1女4男,2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理知共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(4，6)＋Ceq\o\al（2,4)·Ceq\o\al（3,6)＋Ceq\o\al（3，4）·Ceq\o\al(2，6)＋Ceq\o\al(4,4）·Ceq\o\al（1,6)＝246（种)选法．方法二(间接法）：不考虑条件，从10人中任选5人，有Ceq\o\al（5，10)种选法,其中全是男运动员的选法有Ceq\o\al（5，6)种，故“至少有1名女运动员”的选法有Ceq\o\al(5，10)－Ceq\o\al（5，6)＝246（种)．(3）当有女队长时，其他人选法任意,共有Ceq\o\al(4,9）种选法；不选女队长时，必选男队长，共有Ceq\o\al（4，8）种选法，其中不含女运动员的选法有Ceq\o\al(4，5）种，故不选女队长时共有Ceq\o\al(4，8)－Ceq\o\al(4，5）种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有Ceq\o\al（4，9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5）＝191(种）．例2解(1)方法一可作出三角形Ceq\o\al（3,6）＋Ceq\o\al（1,6）·Ceq\o\al（2，4）＋Ceq\o\al（2,6)·Ceq\o\al（1,4）＝116（个）．方法二可作三角形Ceq\o\al(3,10）－Ceq\o\al（3,4)＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有Ceq\o\al（2，5）＋Ceq\o\al（1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al（2,4)＝36(个）．（2)可作出四边形Ceq\o\al（4,6)＋Ceq\o\al(3,6）·Ceq\o\al（1,6）＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al（2,6）＝360（个）．跟踪训练2A例3解(1)分三步：先选一本有Ceq\o\al（1,6)种选法,再从余下的5本中选两本有Ceq\o\al（2，5）种选法，最后余下的三本全选有Ceq\o\al（3,3）种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有Ceq\o\al(1,6）·Ceq\o\al(2，5）·Ceq\o\al(3,3）＝60（种)．(2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有Ceq\o\al（1，6）·Ceq\o\al(2，5)·Ceq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3）＝360（种)．（3)先分三组，有Ceq\o\al(2,6）Ceq\o\al(2,4）Ceq\o\al(2,2）种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C,D，E，F，若第一组取了A,B,第二组取了C，D,第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但Ceq\o\al(2，6）Ceq\o\al（2，4)Ceq\o\al(2，2）种分法中还有（AB，EF，CD),(CD，AB，EF)，(CD,EF，AB)，（EF，CD，AB)，（EF，AB，CD）,共Aeq\o\al（3,3）种情况,而这Aeq\o\al（3,3）种情况只能作为一种分法,故分配方式有eq\f（C\o\al(2，6）·C\o\al(2,4)·C\o\al(2，2），A\o\al(3，3）)＝15(种）．（4）在(3）的基础上再分配即可,共有分配方式eq\f（C\o\al(2,6)·C\o\al（2,4)·C\o\al（2，2)，A\o\al(3,3))·Aeq\o\al（3，3)＝90（种）．跟踪训练3D例4解（1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有Ceq\o\al（3,5)＝10(种)．（2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如｜0｜000｜00｜，有Ceq\o\al（2,5）种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒,如｜0｜000｜|00｜,有Ceq\o\al（1，4)种插法，故共有Ceq\o\al(2，5)·Ceq\o\al（1,4）＝40（种)．(3）恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板,有Ceq\o\al(1，5）种插法,如｜00|0000｜，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如｜|00｜｜0000|,有Ceq\o\al（2,3)种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|｜|0000｜，有Ceq\o\al（1，3）种插法．故共有Ceq\o\al（1,5)·(Ceq\o\al(2，3）＋Ceq\o\al(1，3））＝30(种)．跟踪训练4解(1）因为10个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空隙，在9个空隙中选2个位置插入隔板，可把名额分成