2017-2018版高中数学第一章导数及其应用1.1.1函数的平均变化率学案2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．1.1函数的平均变化率明目标、知重点1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．1．函数的平均变化率已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1）－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f（x0)，则当Δx≠0时,商eq\f（fx0＋Δx－fx0，Δx）＝eq\f（Δy，Δx）叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx（或[x0＋Δx,x0］)之间的平均变化率．2．函数y＝f（x）的平均变化率的几何意义eq\f（Δy,Δx)＝eq\f（fx2－fx1,x2－x1）表示函数y＝f(x）图象上过两点（x1，f(x1)），(x2，f（x2）)的割线的斜率．［情境导学］某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18。6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹:“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃,甚至超过了14。8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢?显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢?探究点一函数的平均变化率思考1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度,可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值eq\f（yC－yB，xC－xB）近似量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在［xB，xC］上的平均变化率．思考2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答如果问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子eq\f（fx2－fx1，x2－x1)表示,我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率,平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考3平均变化率有什么几何意义?答设A（x1，f（x1)），B（x2，f（x2）)是曲线y＝f(x）上任意不同的两点，函数y＝f（x)的平均变化率eq\f（Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f（fx1＋Δx－fx1，Δx）为割线AB的斜率．x1,x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0,但Δx可正也可负；Δy＝f(x2)－f（x1）是相应Δx＝x2－x1的改变量，Δy的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为eq\f（6。5－3.5,3－0）＝1（千克/月)．从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为eq\f（11－8.6，12－6）＝eq\f(2.4,6)＝0.4(千克/月)．反思与感悟求平均变化率的主要步骤：(1）先计算函数值的改变量Δy＝f(x2）－f（x1)．（2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3）得平均变化率eq\f（Δy，Δx)＝eq\f（fx2－fx1，x2－x1)。跟踪训练1如图是函数y＝f（x)的图象，则：（1)函数f（x）在区间［－1,1］上的平均变化率为________;(2）函数f（x）在区间［0,2］上的平均变化率为________．答案(1）eq\f（1,2)（2）eq\f（3,4）解析（1）函数f（x）在区间［－1，1］上的平均变化率为eq\f（f1－f－1,1－－1)＝eq\f（2－1，2)＝eq\f(1，2)。（2）由函数f(x)的图象知,f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，x＋1，1〈x≤3))。所以函数f（x)在区间［0，2］上的平均变化率为eq\f（f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2)，2）＝eq\f(3，4）.探究点二求函数的平均变化率例2已知函数f（x）＝x2，分别计算f（x)在下列区间上的平均变化率：（1）［1，3]；（2）[1，2］；（3）[1，1.1];（4）[1，1。001］．解(1）函数f（x)在［1,3］上的平均变化率为eq\f（f3－f1，3－1）＝eq\f(32－12,2)＝4；(2)函数f（x)在[1,2］上的平均变化率为eq\f(f2－f1，2－1）＝eq\f(22－12，1)＝3；（3)函数f(x)在［1,1.1］上的平均变化率为eq\f(f1。1－f1，1。1－1）＝eq\f(1.12－12，0.1)＝2.1；（4)函数f（x)在[1，1.001］上的平均变化率为eq\f(f1。001－f1，1。001－1）＝eq\f（1.0012－12,0。001）＝2.001.反思与感悟函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势,自变量的改变量Δx取值越小,越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2求函数y＝x2在x＝1，2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？解在x＝1附近的平均变化率为k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx）＝eq\f（1＋Δx2－1,Δx）＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝eq\f（f2＋Δx－f2，Δx)＝eq\f（2＋Δx2－22，Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx）＝6＋Δx;对任意Δx有，k1<k2〈k3，∴在x＝3附近的平均变化率最大．思考一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？答根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k,即一次函数的平均变化率是定值．探究点三平均变化率的应用例3甲、乙两人走过的路程s1（t），s2（t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大?解由图象可知s1（t0)＝s2(t0),s1（0）>s2(0)，则eq\f(s1t0－s10,t0)<eq\f(s2t0－s20，t0）,所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．反思与感悟平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大,函数在区间上的变化越快;平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解甲赚钱的平均速度为eq\f（10,5×12)＝eq\f（10，60）＝eq\f(1,6)（万元/月)，乙赚钱的平均速度为eq\f(2，5)(万元/月）．因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数,所以乙的经营成果比甲的好．1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1］中相应的平均速度是（）A．4B．4。1C．0。41D．3答案B解析eq\x\to（v)＝eq\f(3＋2。12－3＋22,0。1)＝4.1。2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在［2,2.1］这段时间内的平均速度为________．答案23．已知函数h（x)＝－4。9x2＋6.5x＋10。（1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0。1；④0。01。（2）根据(1）中的计算,当|Δx｜越来越小时，函数h（x）在区间［1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解（1）∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1）＝－4.9（Δx）2－3。3Δx,∴eq\f(Δy,Δx）＝－4.9Δx－3。3。①当Δx＝2时，eq\f(Δy，Δx）＝－4。9Δx－3.3＝－13。1；②当Δx＝1时，eq\f（Δy,Δx)＝－4.9Δx－3。3＝－8。2；③当Δx＝0。1时，eq\f(Δy，Δx）＝－4.9Δx－3。3＝－3。79；④当Δx＝0.01时,eq\f(Δy,Δx）＝－4.9Δx－3。3＝－3。349.（2）当|Δx|越来越小时，函数f（x）在区间[1，1＋Δx］上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3。3。[呈重点、现规律］1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢;平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率,在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f（x)的平