高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程 优秀作品

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有()A．a与b共线 B．a与b同向C．a与b反向 D．a与b共面解析：由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B、C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的，故D错．答案：A2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c解析：不共面的三个向量才可以构成基底，A中，a＋2b＝eq\f(3,2)(2a)＋(－2)(a－b)，三个向量共面；B中，b＋2a＝eq\f(3,2)(2b)＋(－2)(b－a)，三个向量共面；D中，a＋c＝2c＋(a－c)，三个向量共面；只有C中的三个向量不共面．答案：C3.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BE,\s\up6(→))等于()\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c解析：eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(1,2)c.故选C.答案：C4．正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq\o(AO1,\s\up6(→))，eq\o(AO2,\s\up6(→))，eq\o(AO3,\s\up6(→))}为基底，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AO1,\s\up6(→))＋yeq\o(AO2,\s\up6(→))＋zeq\o(AO3,\s\up6(→))，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2解析：eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up6(→))＝eq\o(AO1,\s\up6(→))＋eq\o(AO2,\s\up6(→))＋eq\o(AO3,\s\up6(→))，对比eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AO1,\s\up6(→))＋yeq\o(AO2,\s\up6(→))＋zeq\o(AO3,\s\up6(→))得x＝y＝z＝1.答案：A二、填空题(每题5分，共10分)5．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))1＝c，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1C,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)(a＋b－c)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b6．我们称(x，y，z)是向量p＝xa＋yb＋zc关于基底{a，b，c}的坐标，则向量m＝2a－b－3c的相反向量关于基底{a，b，c解析：－m＝－2a＋b＋3c，∴坐标为(－2,1,答案：(－2,1,3)三、解答题(每小题10分，共20分)7.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中．求eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(A1B,\s\up6(→))的坐标．解析：设x、y、z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝4i，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2j，eq\o(OO1,\s\up6(→))＝4k，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OO1,\s\up6(→))＋eq\o(O1D,\s\up6(→))＝eq\o(OO1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(O1A1,\s\up6(→))＋eq\o(O1B1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(O1A1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(O1B1,\s\up6(→))＋eq\o(OO1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OO1,\s\up6(→))＝2i＋j＋4k，∴eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))＝－2i－j－4k，∴eq\o(DO,\s\up6(→))＝(－2，－1，－4)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA1,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))＝－4i＋2j－4k，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－4,2，－4)．

8.如图所示，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设Oeq\o(A,\s\up6(→))＝a，Oeq\o(C,\s\up6(→))＝b，Oeq\o(P,\s\up6(→))＝c，E、F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：Beq\o(F,\s\up6(→))、Beq\o(E,\s\up6(→))、Aeq\o(E,\s\up6(→))、Eeq\o(F,\s\up6(→)).解析：连接BO，则Beq\o(F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)Beq\o(P,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(Beq\o(O,\s\up6(→))＋Oeq\o(P,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.Beq\o(E,\s\up6(→))＝Beq\o(C,\s\up6(→))＋Ceq\o(E,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)Ceq\o(P,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)(Ceq\o(O,\s\up6(→))＋Oeq\o(P,\s\up6(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.Aeq\o(E,\s\up6(→))＝Aeq\o(P,\s\up6(→))＋Peq\o(E,\s\up6(→))＝Aeq\o(O,\s\up6(→))＋Oeq\o(P,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(Peq\o(O,\s\up6(→))＋Oeq\o(C,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.Eeq\o(F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)Ceq\o(B,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)Oeq\o(A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9.(10分)如图所示，已知正四面体的棱长为1，点E、F分别是OA、BC的中点，选择适当的基底：(1)表示eq\o(EF,\s\up6(→))，并求出|eq\o(EF,\s\up6(→))|；(2)计算eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，并求出〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉．解析：设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，OB＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝eq\f(π,3)，∴a·b＝a·c＝b·c＝eq\f(1,2).(1)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＝－eq\f(1,2)(a－b－c)则有|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(1,4)a－b－c2)＝eq\r(\f(1,4)a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝eq\f(1,2)eq\r(1＋1＋1－1－1＋1)＝eq\f(\r(2),2)；(2)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝c－a＝－(a－c)∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－b－c)·(a－c)＝eq\f(1,2)(a2＋c2－a·b＋b·c－2a·c)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1－\f(1,2)＋\f(1,2)－1))＝eq