双曲线训练题

双曲线训练题一、题点全面练1．(2019·襄阳联)直线l：4x－5y＝20经双曲线：－＝1(＞，＞的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线的心率()A.C.

5354

3B.54D.5解析：选A由意知直线l两坐标轴分别交于(，，－4)，而＝，c5＝，＝，双曲线的心率＝＝.a3x2(2019·成都模拟)如图知曲线：－＝1(＞＞，ab长方形ABCD顶点A，分为双曲线E的左右焦点，且点，在5双曲线E上，|AB＝6，||＝，则双曲线的离心率()2A.2

3B.2C.

52

D.5b5解析：选B因2＝|＝6，所以3.因为＝|＝，以＝b.a2又b所9＝＋3＝，选B.2

5a9c解得a2＝－(去故双曲线的离心率＝22ax3．(2018·武汉调)已知点P在双线－＝1(a＞，＞上PF⊥轴其F为a1双曲线的右焦点，P到双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为3()A.

233

B.325C.D.55ab·－·＋·3b－ab·－·＋·3b－b解析：选A由意知c,0)由⊥轴不妨设点P在一象限，则

，双＋1曲线的渐近线方程为±＝，由题意，得＝解得＝b又c＝＋3＋b

c223，所以a＝3，所以双曲线的离心率＝＝＝.a33x4．(2018·全国卷)已知双曲：－y＝，坐标原点为C的右点，过F3的直线与C两条渐近线的交点分别为M，若为直角三角形，则MN＝()A.

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B.3．3．解析：选B由知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±

13

x.设两条渐近线的夹角为2αtanα＝

13＝α＝30°.3所以∠2α＝60°.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设⊥ON，如图所示．在eq\o\ac(△,Rt)ONF，OF＝，|ON|＝3.在eq\o\ac(△,Rt)OMN中，||＝|·tanα＝3·tan60°＝3.选B.5邯郸考)如图F是曲线C：－＝1(a＞，bb＞的、右两个焦点，若直与双曲线C交P，两，且四边形PFQF为形，则双曲线的离心率()A．2＋6C．2＋2

B.2＋6D.2＋2解析：选D由意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代双曲线C的程，可得x＝±

ab，所以2·

ab－a

＝，所以2b＝b－)即2(e－＝－2e，以e－e＋＝因＞，所以e＝＋2，所以e2＋2，故选D.xy6．(2018·辽宁五校协作体联合)在平面直角坐标系xOy中已知双曲线：－aaaaaeq\o\ac(△,S)AOBbaaaaaeq\o\ac(△,S)AOBba＝＞0，＞的离心率为5，双曲线C的焦点引近线的垂线，垂足为，eq\o\ac(△,若)eq\o\ac(△,)AFO的面积为，则双曲线C的方程为()xyA.－＝28xyC.－＝416

xB.－＝4D．－＝4解析选D因双曲线C的焦点F到近线的距||＝||＝a所ab＝，又双曲线C离心率为5，所以y线C的方为x－＝，选D.4

b1＋＝5，即＝，以＝b＝，所以双曲a7．点是(0，±2)，且与双曲__________．

xy－＝1有同的渐近线的双线的方程是33x2

y解析：由题意可知，双曲线是焦点在y轴上等轴双曲线，故所求双曲线的方程为－2＝yx答案：－＝228．(2018·日照一)已知双曲－＝a＞，＞的两条渐近线与抛物线＝xa的准线分别交于两为标原点＝3则双曲线的离心率＝________.eq\o\ac(△,S)AOBb解析：由题意，知抛物线的准线方程是x1，双曲线的渐近线方程是yx当xbb1＝－1时A＝×2×a2ab×1＝23，即＝3，以e＝a

1＋

＝13.答案：13xy9．双曲线－＝0，b＞的近线为正方形的所在的直线，点abB为该曲线的焦点．若正方形的长为2，则________.解析：不妨令B为曲线的右焦在一象限，则双曲线如图所示．∵四边形为正方形|OA|＝，π∴＝|＝2，∠AOB＝.4b∵直线OA是渐近线，方程为＝x，∴＝∠AOB＝，＝.a又∵a＋＝＝，∴2.答案：x10．已知双曲线－＝＞0，＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与ab双曲线交于，B两点设A到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d和d，且＋＝，双曲线的方程为_________．xb解析：∵双曲线－＝a＞，＞的离心率为，∴e＝＋＝，∴＝，即aaa＝a，c＝＋＝，由题意可设A(23)(2，－)b∵＝，渐近线方程为＝±3，a则点A与B到线3y＝0的距离分别为d＝|23＋3|3＋3＝a，又∵＋，22

|23－a23－3＝ad＝22∴

23－323＋ya＋＝，解得＝，∴＝9.∴双曲的方程为－＝1.2239xy答案：－＝39二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分x1．若实数k满足0＜，则曲线－＝与曲－＝的)259－k25－k9A．离心率相等C．实半轴长相等

B.虚半轴长相等D．焦距相等解析：选D由0＜＜，易知两曲线均为双曲线且焦点都在上，由25＋－＝25－＋，得两双曲线的焦距相等．2．(2019·南充模)过双曲线－＝1(a＞，＞0)左焦点且垂直于x轴直线与双曲线交于A两为轴上的一个端点，且ABD为角角形，则此双曲线离心率aab→，－aaAD，即为0－··baab→，－aaAD，即为0－··bb－＋aaaa的取值范围()A．(1，2)C．(2，

B.(2，2＋2)D．(1，2)∪(2＋2，∞)xy解析：选D设曲线－＝＞0，b＞0)的左焦点为F(－c,0)，令x＝－，得by＝±，abb可设

.又设(0，)，可得AD＝

，→2AB＝＝，.由△ABD为角角形，可得DAB为角或∠为钝角．当∠DAB为角时，可得→→2baa

＜，为a＞，即有a＞＝－可得＜a，ce＝＜2.又＞，可得＜e；a→→当∠ADB为钝角时，可得·DB，即为cc2a＞，e，a

＜，为c4ac＋可得－＋＞又＞，得＞22.综上可得，离心率的取值范围(12)(22，＋∞)．3．(2019·石家庄模拟)双曲线－＝1(a＞，＞0)左、右焦点分别为F，过F作斜角为30°直线y轴和曲线的右支分别交于点点A平线段F，则该双曲线的离心率()A.3

B.2C．2

D.

33解析：选A由意可知F(－0)，设A)，因为AFB中点，所以点的b坐标为c，又点B在曲线的右支上，所以B

，因为直线F的斜角为30°所以b－33＝，简整理得＝，＝－，所以3－－3＝，边同c－－3ac3→2－csinPFF＝，∴＝，→2－csinPFF＝，∴＝，时除以ae－3－＝，得＝或e＝－

33

(舍去，选A.4．已知圆C(x－＋＝4，定点－，0)，过定点A且和圆外的动圆圆心M的轨方程为__________．解析：设动圆M的径为R则||＝＋，MA＝R，∴||||＝由双曲线的定义知，点轨迹是以，C为点的双曲线左支，且＝，c＝，b＝8.则动圆圆y心M的轨方程为x－＝x≤－1)．8y答案：－＝1(≤－8(二)交汇专练——融会巧迁移x5[与向量交汇]过双曲线：－＝a0b＞的焦点作x＋＝切线a→(切点为)，交轴点P，若PM2MF，双曲线的离心率()A.2

B.

62C.3

D．2解析选由意(0)设P(0,3)由＝可点M的坐为，

，m32∵∴·＝1∴＝c∴，±9c3

29

由|＋|＝OFOM＝，|＝得a＋

22＋＝，解得a＝c93

c6，∴＝＝，故选B.a26．[与正弦定理交汇已知双曲线－＝a＞，＞的左、右焦点分别为，，asin∠PF若双曲线上存在点，使＝(c是曲线的半焦距，该双曲线的离心率e的取sin∠值范围为)A．(1,1＋2)C．(1,1＋2]

＋3)D．(1,1＋3]sin∠解析：选A由意，知点P不是曲线的顶点，否则＝无义．在eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)sin∠|||PF|中，由正弦定理得＝，∠sin∠又

sin∠F||sin∠F||abbbc2c2bcabc2acabbbc2c2bcabc2acc即|＝·||.由题意知点P在双线的右支上||－|PF|＝a，c∴·|－|PF|＝a，即|PF|＝.ac－2由双曲线的几何性质，||＞－，∴＞c－，c－ac－＜0e－e－c1＜，解得－2＋＜＜2＋1.又＞，∴双曲线离心率的取值范围(，2＋1)，故选A.y7．[与圆交]已知F，是双线－＝1(＞00)的两个焦点，过其中一个焦b点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在线段为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围A．(1,2)C．(1，2)

B.(2，∞)D．(2，＋∞)解析：选A如，不妨设F，，(0，)，则过点与x＋，aa近线y＝x平的直线为＝x＋，立，得ba，

解得，

即，

.因点M在线段F为直的圆＋＝c

＋

c＜，化简得b＜a，c－＜，得＜，双曲线的离心率e＝＞，以a双曲线离心率的取值范围(．故选A.(三)难点专练——适情自主选8．已知中心在原点的双曲线的焦点为2,0)实轴长为23.求双曲线C的方程；若直线ly＝kx＋2与双曲线的支交于，两，求k的取值范围；在2)的条件下，线段AB垂直平分线l轴于(0，)，求的值范围x解：(1)设双曲线C的程为－＝＞，＞．a由已知得a3，＝，再由b＝，得b＝，3B3Bx所以双曲线C的方为－3

＝1.x(2)设(，B(xy)将y＝＋代入－＝，(－k)AB

－2kx－＝0.1－3k≠0，－＞，