高中数学北师大版1第一章直线多边形圆 省获奖

学业分层测评(二)平行线分线段成比例定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.如图1­1­43，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，BC＝100，那么EF的值是()图1­1­43 【解析】因为AB∥EF∥CD，所以eq\f(EF,AB)＝eq\f(CF,BC)，eq\f(EF,CD)＝eq\f(BF,BC)，故eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,CD)＝eq\f(CF,BC)＋eq\f(BF,BC)＝eq\f(BC,BC)＝1，即eq\f(EF,20)＋eq\f(EF,80)＝1，EF＝16.【答案】C2.如图1­1­44，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()图1­1­44∶1 ∶1∶1 ∶1【解析】过D作DG∥AC交BE于G，如图，因为D是BC的中点，所以DG＝eq\f(1,2)EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶eq\f(1,2)EC＝4∶1.【答案】C3.如图1­1­45所示，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE交BD于G，交BC于F，下列结论：图1­1­45①eq\f(EC,CD)＝eq\f(EF,AF)；②eq\f(FG,AG)＝eq\f(BG,GD)；③eq\f(AE,AG)＝eq\f(BD,DG)；④eq\f(AF,CD)＝eq\f(AE,DE)，其中正确的个数是()个 个个 个【解析】∵BC∥AD，∴eq\f(EC,CD)＝eq\f(EF,AF)，eq\f(FG,AG)＝eq\f(BG,GD)，∴①，②正确.由BC∥AD得eq\f(AF,EF)＝eq\f(CD,CE)，∴eq\f(AF,AF＋EF)＝eq\f(CD,CD＋CE).即eq\f(AF,AE)＝eq\f(CD,DE)，即eq\f(AF,CD)＝eq\f(AE,DE)，∴④正确.【答案】C4.如图1­1­46，已知DE∥BC，EF∥AB，AD∶DB＝2∶3，BC＝20cm，则BF＝()图1­1­46cm cmcm cm【解析】∵DE∥BC，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC).又∵EF∥AB，∴eq\f(BF,FC)＝eq\f(AE,EC)，∴eq\f(BF,FC)＝eq\f(AD,DB)＝eq\f(2,3).设BF＝2x，则FC＝3x，∴5x＝20，x＝4，∴BF＝2x＝8(cm).【答案】C5.如图1­1­47，已知P，Q分别在BC和AC上，eq\f(BP,CP)＝eq\f(2,5)，eq\f(CQ,QA)＝eq\f(3,4)，则eq\f(AR,RP)＝()图1­1­47∶14 ∶3∶3 ∶14【解析】过点P作PM∥AC，交BQ于M，则eq\f(AR,RP)＝eq\f(AQ,PM).∵PM∥AC且eq\f(BP,CP)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(QC,PM)＝eq\f(BC,BP)＝eq\f(7,2).又∵eq\f(CQ,QA)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(AQ,PM)＝eq\f(QC,PM)·eq\f(AQ,QC)＝eq\f(7,2)×eq\f(4,3)＝eq\f(14,3).即eq\f(AR,RP)＝eq\f(14,3).【答案】B二、填空题6.如图1­1­48：已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC的延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，则AE＝__________.图1­1­48【解析】作DH∥BC交AB于H，则H为AB中点，∵AG∶BG＝1∶3，∴AG∶GH＝1∶1，∴G为AH的中点，又∵HD∥AE，∴AE＝HD＝eq\f(1,2)BC＝4.【答案】47.如图1­1­49所示，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，已知AB，BD，DC的长度分别是3,2,4，则AC的长为__________.图1­1­49【解析】如图所示，过点D作DE∥AB，交AC于E.则eq\f(BD,DC)＝eq\f(AE,EC).又∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAE.∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴eq\f(BD,DC)＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(DE,EC)＝eq\f(AB,AC)，即eq\f(BD,DC)＝eq\f(AB,AC).∴AC＝eq\f(AB·DC,BD)＝eq\f(3×4,2)＝6.【答案】68.如图1­1­50，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，则S△ADE∶S四边形DEGF∶S四边形BCGF＝__________.【导学号：96990007】图1­1­50【解析】∵AD∶DF＝2∶3，∴AD∶AF＝2∶5.∴S△ADE∶S△AFG＝4∶25.∵AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，∴AD∶AB＝2∶9.∴S△ADE∶S△ABC＝4∶81，∴S△ADE∶S四边形DEGF∶S四边形BCGF＝4∶21∶56.【答案】4∶21∶56三、解答题9.如图1­1­51所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.图1­1­51(1)求证：OE＝OF；(2)求eq\f(OE,AD)＋eq\f(OE,BC)的值；(3)求证：eq\f(1,AD)＋eq\f(1,BC)＝eq\f(2,EF).【解】(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC.∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(AE,AB)，eq\f(OF,BC)＝eq\f(DF,DC)，eq\f(AE,AB)＝eq\f(DF,DC)，∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(OF,BC)，即OE＝OF.(2)∵OE∥AD，∴eq\f(OE,AD)＝eq\f(BE,AB).由(1)知，eq\f(OE,BC)＝eq\f(AE,AB)，∴eq\f(OE,AD)＋eq\f(OE,BC)＝eq\f(BE,AB)＋eq\f(AE,AB)＝eq\f(BE＋AE,AB)＝1.(3)证明：由(2)知，∵eq\f(OE,AD)＋eq\f(OE,BC)＝1，∴eq\f(2OE,AD)＋eq\f(2OE,BC)＝2.由(1)，知EF＝2OE，∴eq\f(EF,AD)＋eq\f(EF,BC)＝2，∴eq\f(1,AD)＋eq\f(1,BC)＝eq\f(2,EF).10.如图1­1­52，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为对角线BD，AC的中点，求证：EF∥BC且EF＝eq\f(1,2)(BC－AD).图1­1­52【证明】法一：如图，连接AE并延长交BC于点G.在梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠GBE，DE＝BE，∠AED＝∠GEB，∴△ADE≌△GBE，∴AE＝GE，AD＝BG.又∵AF＝CF，∴EF为△ACG的中位线，∴EF∥CG，EF＝eq\f(1,2)CG，即EF＝eq\f(1,2)(BC－AD).法二：如图，取DC的中点M，连接EM.∵E是BD的中点，∴EM是△BDC的中位线，∴EMeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))eq\f(1,2)BC.又∵AD∥BC，∴EM∥AD，∴EM与AC的交点必为AC的中点.∵F是AC的中点，∴F在EM上且MFeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))eq\f(1,2)AD.∴EF＝EM－FM＝eq\f(1,2)(BC－AD).能力提升]1.如图1­1­53所示，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于O，若AO＝OD＝DF，BE＝10cm，则BO的长为()图1­1­53\f(10,3)cm cm\f(5,2)cm cm【解析】∵CD∥EF，OD＝DF，∴C为OE中点，∴OC＝CE.∵AB∥CD，AO＝OD，∴O为BC中点，∴BO＝OC，∴OB＝eq\f(1,3)BE＝eq\f(10,3)cm.【答案】A2.如图1­1­54所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b，中位线EF＝m，则图中MN的长是()图1­1­54\f(ma＋b,b－a) \f(mb－a,a－b)\f(mb－a,2a＋b) \f(mb－a,a＋b)【解析】∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)(AD＋BC)，即AD＋BC＝2m.又∵EM∥AD，E为AB的中点，∴EM＝eq\f(1,2)AD.同理EN＝eq\f(1,2)BC，∴MN＝EN－EM＝eq\f(1,2)(BC－AD)＝eq\f(1,2)·eq\f(2mBC－AD,AD＋BC)＝eq\f(mb－a,a＋b).【答案】D3.如图1­1­55所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为__________.【导学号：96990008】图1­1­55【解析】如图，延长AD，BC交于点O，作OH⊥AB于点H.∴eq\f(x,x＋h1)＝eq\f(2,3)，得x＝2h1，eq\f(x＋h1,x＋h1＋h2)＝eq\f(3,4)，得h1＝h2.∴S梯形ABFE＝eq\f(1,2)×(3＋4)×h2＝eq\f(7,2)h1，S梯形EFCD＝eq\f(1,2)×(2＋3)×h1＝eq\f(5,2)h1，∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.【答案】7∶54.如图1­1­56，已知梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC且交对角线BD于O，AD＝DO＝p，BC＝BO