第4章 流体动力学基本定理-4,5-2004

Bernoulli方程：速度分布压力分布动量方程：动量变化合力。

4.4动量方程、动量矩方程及其应用

TheMomentumandMoment-of-MomentumEquiations

4.4.1动量方程

时刻t，任取一流体系统V(t)、边界面S(t)，外法向量n。VSnP动量定理：系统内动量的变化率等于作用在系统上的合外力(）。

系统内流体动量变化=系统所受合外力（系统）[流出动量]CS–[流入动量]CS=[合外力]CV+CS

定常流动：（控制体）

动量方程反映了物体与流体间的相互作用，是积分形式的方程，对理想和粘性流体都适用。——CV内流体动量的变化与单位时间（净）流出CS的动量之和等于外界作用在CV和CS上的合力。

（控制体）

VSnP输运公式求解步骤：（1）取坐标系；（2）假定力:如设F为外界给流体的力，则物体受力F’=－F；（3）取控制体：速度和压力为已知的面；物面或流面。物面或流面上而物面往往就是要求的受力面。常用假设：（1）壁面无摩擦（理想流体）:（2）忽略质量力：f=0;（3）进出口流动均匀:V=const.（4）

列动量分量方程；（5）

基本方程的联合使用;（6）

表压力求解方便。4.4.2动量矩方程动量矩定理：cv内关于某一点动量矩的变化率与单位时间内流出cs的动量矩之和等于外界作用在cv上的力关于同一点的矩:

外力矩：

定常流动：

[流出动量矩]CS–[流入动量矩]CS=[合外力矩]CV+CS

直角坐标系中:

Example4-5大气中二元流冲击平板Given：b0、V0，a，p0，不计粘性。Find：流体对平板的作用力。4.4.3动量、动量矩方程应用

Bernoulli方程：Continuity方程：

Solution:取坐标系及控制体：端面足够远；设P为流体对平板的冲击力如图；列动量方程(表压力)：

得

Ｐ就是流体对平板的冲击力，方向与图示方向相同，指向平板。（“－”表示f

在x

轴正方向）

求冲击力P的作用点f

的位置

e

：对坐标原点o取矩：4.5旋涡运动基本定理

4.5.1开尔文（Kelvin）定理——旋涡强度的保持性定理流体线：由确定的流体质点所组成的线。定理1

如果流体理想、正压、质量力有势，则沿封闭流体线的速度环量不随时间变化。又称为Thomson定理。证明：若理想流体、正压、质量力有势(Kelvincondition)：速度环量导数加速度环量可证得

Kelvin定理的几个推论：4.5.2Lagrange定理-涡量保持性（不生不灭）定理定理2：如果流体理想、正压、质量力有势，若某一时刻流场无旋，则以后的流动始终无旋。旋涡起因：粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋；非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡；非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。4.5.3Helmholtz定理-涡线和涡管保持定理定理3如果流体理想、正压、质量力有势，则组成涡线的流体质点永远组成此涡线。定理4如果流体理想、正压、质量力有势，则组成涡管的流体质点始终组成此涡管，且涡管的强度不随时间而变。综上所述，Kelvin、Lagrange及Helmholtz定理全面地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律：若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产生新的旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。④kelvin_helm_rollupbullet_shadowgraph:ShockWave④vortex_bearbae_146wingboundvortextrailingvortextrailingvortex

SirWilliamThompson(LordKelvin),borninBelfast,Contributedsignificantlytothefieldofhydrodynamicsasisevidencedbyhis661papersand56patents.

When11yearsold,heenteredthetheUniversityofGlasgow,leavingin1841toenterPerterhouse,CambridgeUniversity,tofurtherhiseducation.TomeetBiotinParis.

In1846hebecameProfessorofNaturalPhilosophyatGlasgow,apostheheldfor53years.

Contributions:Longwaves,heatconduction,thermodynamics,submarinecables.

Philosophy:“Therecannotbeagreatermistakethanthatoflookingsuperciliouslyuponpracticalapplicationsofscience”.

Buried:inWestminsterAbbey.LordKELVIN

(1824–1907):英国及欧盟国家4.5.4Biot—Savart定理—涡线的诱导速度电流诱导磁场强度—旋涡诱导流体速度。

水电比拟:

物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。

电磁场流场方程磁场强度H～v流体速度

磁场势V～φ速度势

电流面密度δ～Ω涡量电流强度i～Γ速度环量Biot-Savart定理：

电流诱导磁场强度旋涡诱导流体速度MLiΓ直涡线L在M点处诱导速度的大小:诱导速度方向指向纸里。ΓLMR⑦半无限长直涡线(a

2=0，