第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(理)第四节(理) 第一节(文) 随机事件概率

第四节（理）第一节（文）随机事件的概率第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（理）第十章概率（文）主干回顾·夯实基础一、事件1．确定事件(1)在条件S下，___________的事件，叫做相对于条件S的必然事件．(2)在条件S下，______________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．(3)必然事件和不可能事件统称确定事件．一定会发生一定不会发生2．随机事件在条件S下，_____________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件．3．事件__________和__________统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．二、概率和频率

可能发生也可能不发生确定事件随机事件2．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．三、事件的关系与运算

定义符号表示包含关系如果事件A_____，则事件B__________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)____________相等关系若B⊇A，且______，那么称事件A与事件B相等______发生一定发生B⊇A(或A⊆B)A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生_______________________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)_____(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生_______________________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)______(或___)互斥事件若A∩B为_______事件，那么称事件A与事件B为互斥事件A∩B＝∅对立事件若A∩B为_______事件，A∪B为__________，那么称事件A与事件B互为对立事件当且仅当事件A发生或当且仅当事件A发生且不可能不可能必然事件A∪BA∩B事件B发生事件B发生AB四、概率的几个基本性质1．概率的取值范围：___________.2．必然事件的概率：P(E)＝__.3．不可能事件的概率：P(F)＝___.4．互斥事件概率的加法公式(1)如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝___________．(2)若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝_________．

0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“某人购买的彩票中奖”是随机事件．()(2)事件发生的频率与事件发生的概率相同．()(3)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法．()(4)已知事件A和事件B，则A＋B表示两个事件都发生．()(5)“事件A、B互斥”是“事件A、B对立”的必要不充分条件．()

[答案及提示](1)√

(2)×频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．(3)√(4)×

A＋B表示事件A、B至少有一个发生．(5)√对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．

2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶解析：选D“至少一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”．故选D.

3．从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.2C．0.1 D．0.3解析：选D由于“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”．又事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.7，因此“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.故选D.

4．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．解析：A与B，A与C，B与C，B与D

B与D由互斥事件和对立事件的定义逐一判断．

5．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．

考点技法·全面突破1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件随机事件及其关系的判定(☆☆☆)解：选D根据互斥与对立的定义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．故选D.2．某小组有3名男生和2名女生，从中选择2名同学去参加演讲比赛，有下列四对事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生．其中是互斥事件的是________．

解：①④①中，在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实际选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．②中，“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，当事件“有1名男生和1名女生”发生时两个事件都发生，故不互斥．③中，“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生，因此不互斥．④中，“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，故是互斥事件．综上①④中的事件为互斥事件．

判断事件关系的常用方法(1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断事件的关系．[典例1]

(2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：

由频率估计随机事件的概率(☆☆☆)(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．

1．频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．1．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5cm～170.5cm之间的概率约为(

)互斥事件、对立事件的概率(☆☆☆☆)(2)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.①求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；②求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：设“该车主购买甲种保险”为事件A；“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”为事件B；“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”为事件C；“该车主甲、乙两种保险都不购买”为事件D.①由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.②因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．2．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.因此事件A、B、C两两互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

学科素能·增分宝典[典例]判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都是从1～10)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

[易错分析]解答本题时常出现的错误是对事件互斥意义不明确，对事件的互斥与对立之间的关系不清楚，就会出现错误的判断．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是不可能同时发生的，但其中必有一个发生，因为牌不是红色就是黑色，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽的点数为10.因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．[温馨提示]解答与互斥事件、对立事件有关的问题时一定要分清二者的关系，解题时