第八章 弯曲与扭曲

第八章弹性体的应力和应变§8.1弹性体的拉伸和压缩§8.1.1外力·内力与应力§8.1.2直杆的线应变§8.1.3胡克定律§8.1.4拉伸和压缩的形变势能

前面，我们讨论的对象是从质点到刚体，都是理想模型，质点不考虑物体的形状、大小，刚体有形状大小但无形变。实际上，任何物体在力的作用下，都会发生或多或少形状大小的变（叫做形变），有些物理现象，从本质上就是由形变引起的，如声音在弹性媒质中的传播就和媒质内发生的形变密切相关，而在工程技术的许多实际问题中，形变常常起着重要的作用。弹性形变——在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，当外力撤除后，在外力作用下所发生的形状和体积的变化完全消失，而恢复原状的形变.弹性体——弹性形变的物体，是一种理想模型。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性的形变有拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲.拉伸压缩和剪切形变是最基本的形变.作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。杆的受力简图为FF拉伸FF压缩§8.1弹性体的拉伸和压缩§8.1.1外力·内力与应力工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：由汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，带动活塞运动的连杆由于两端都是铰链约束，因而也是承受轴向载荷的杆件。

工程实例如何确定轴向拉伸（压缩）的内力和内力图？截面法qqFNFNABAB外力

内力不计杆自身重量应力Fn是内力在外法线方向的投影,S是横截面积单位：帕,N/m2

1、纵向变形（轴向变形）

基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：

杆件在轴线方向的伸长纵向应变引进比例常数E，且注意到F=FN，有

胡克定律(Hooke’slaw),适用于拉(压)杆。

式中：E称为弹性模量(modulusofelasticity)（杨氏模量），由实验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；ES——

杆的拉伸(压缩)刚度。公式的适用条件

1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律

2）在计算杆件的伸长时，l长度内其FN、A、l均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。←单轴应力状态下的胡克定律

低碳钢(Q235)：

横向也会发生变形横向应变通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应变和横向应变存在如下的比例关系泊松比泊松比m、弹性模量E都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。2、横向变形（仅形变较小时成立）胡克定律E是弹性模量(杨氏模量),是描写材料本身弹性的物理量.FlOCDBOABPP

是塑性应变.断裂点弹性极限骨马牛猪人拉伸弹性模量股骨25.525.014.917.6胫骨23.824.517.218.4肱骨17.818.314.617.5桡骨22.825.915.818.9压缩弹性模量股骨9.4±0.478.74.9胫骨8.55.1肱骨9.05.0桡骨8.45.3表8.3密质骨的弹性模量/GPa三、部分常用材料的主要力学性能常用材料的许用应力约值

(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）材料名称牌号

许用应力/MPa低碳钢低合金钢灰口铸铁混凝土混凝土红松（顺纹）Q23516MnC20C3017023034－540.440.66.4170230160－200710.310轴向拉伸轴向压缩

等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。但是，如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将急剧增大，这种现象称为应力集中。

温度变化较大时，温度应力的数值便非常可观。为了避免过高的温度应力，在管道中有时增加伸缩节，在钢轨各段之间留有伸缩缝，这样就可以削弱对膨胀的约束，降低温度应力§8.1.4拉伸和压缩的形变势能设形变量，直杆形变前=0；发生形变l,=l弹性力是保守力.弹性力所做的功等于弹性体弹性势能的减少.胡克定律外力做功设未形变时势能为零，则弹性势能弹性势能密度[例题]本段标题为杆的拉伸压缩，但并非仅直杆内存在拉伸压缩应力.如图表示装高压气体的薄壁圆柱形容器的横断面。壁厚为d且圆柱的半径为R.气体压强为p，求壁内沿圆周切向的应力.不计容器自重且不计大气压.Rd2pRdd[解]受力如图所示令l为圆柱形容器的长度按平衡条件得即器壁沿圆周切向受拉应力.则，§8.2弹性体的剪切形变§8.2.1剪切形变·切应力与切应变§8.2.2剪切形变的胡克定律剪切的概念受力特征：作用在构件两侧面上的横向外力的合力大小相等，方向相反，作用线相距很近。变形特征：两力间的横截面发生错动。这种变形形式叫做剪切。铆钉连接销轴连接工程实例工程实例剪切形变·切应力与切应变剪切形变——物体受到力偶作用使物体两个平行截面间发生相对平行移动.ABCD切应力S是截面ABCD的面积，物体受到力偶发生剪切变形切应力具有与正应力相同的量纲和单位.1.切应力剪切应力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线的切应力相等.abc力偶矩2.剪切应力互等

和’分别表示上下底面和左右侧面的切应力3.剪切应变描述abcdb

c

剪切形变特征:切应变

:平行截面间相对滑移与截面垂直距离之比.即形变小时，又称切变角.§8.2.2剪切形变的胡克定律即G称切变模量，由材料弹性决定.G反映材料抵抗剪切形变的能力，单位与弹性模量相同.剪切形变的胡克定律——若形变在一定限度内，切应力与切应变成正比.弹性模量E、切变模量G和泊松系数

之间的关系为1.剪切形变的胡克定律2.E、G和

之间关系的定性说明设杆所受外界拉力一定.

一定时，E与G成正比.E一定时，

大G小，

小G大单位体积剪切形变的弹性势能为§8.3弯曲和扭转§8.3.1梁的弯曲§8.3.2杆的扭转13.1工程中的弯曲变形问题

梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。一、梁的变形二、工程实例实例一：起重机大梁实例二、机床摇臂2.火车轮轴二、纯弯曲时的正应力

(1)

几何关系━━变形与应变观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；§8.3.1梁的弯曲梁的弯曲和杆的扭转都可以看成是由拉伸压缩和剪切形变两种基本形变的组合.AA

BCC´B´M1M2AA´BC´B´C矩形横截面梁，不计自重,如图MAA´bh弯曲形变特点:弯曲后，靠近上缘各层发生压缩形变；靠近下缘各层，发生拉伸形变.处于中间的的CC´层(中性层)既不伸长也不压缩.中性层曲率M是加于梁的力偶矩，E为材料的杨氏模量，b为梁宽度，h为梁的高度.——1、合理布置支座提高弯曲强度和刚度的措施——2、合理布置载荷FL/65FL/36安装齿轮靠近轴承一侧；——3、集中力分散F二、梁的合理截面1、合理设计截面抗弯截面系数WZ越大、横截面面积A越小，截面越合理。来衡量截面的经济性与合理性合理截面合理截面伽利略1638年《关于两种新科学的对话和证明》“空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，所以在技术上得到广泛应用。在自然界就更为普遍了，这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，它们既轻巧而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。“合理截面合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。对于塑性材料宜设计成关于中性轴对称的截面对于脆性材料宜设计成关于中性轴不对称的截面且使中性轴靠近受拉一侧。2、合理放置截面竖放比横放更合理。为降低重量，可在中性轴附近开孔。扭转实例1汽车传动轴实例2汽车方向盘轴§8.3.2杆的扭转圆柱体受到作用在与其轴线垂直的两个平面上大小相等方向相反的两个力偶矩，发生扭转形变.MM

是扭转角,rl

AA

扭转形