第五章 虚功原理与结构的位移计算

结构力学(StructuralMechanics)授课人：王新杰环境学院土木工程系第五章结构的位移计算(DisplacementCalculationofStructure)2/3/20232结构力学目录

(contents)5-1结构位移计算概述5-2结构位移计算的一般公式5-3荷载作用下的位移计算5-4荷载作用下的位移计算举例5-5图乘法5-6温度作用时的位移计算5-7互等定理--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2/3/20233结构力学基本要求理解：实功与虚功、广义力与广义位移。掌握：荷载产生的位移计算、支座移动和温度改变引起的位移计算、用图乘法求位移、互等定理。了解：变形体虚功原理。2/3/20234结构力学§

5-1结构位移计算概述1.结构的位移结构在外部因素作用下，将产生尺寸形状的改变，这种改变称为变形；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。2/3/20235结构力学位移产生的原因：1)载荷作用2)温度作用和材料胀缩3)支座沉降和制造误差结构各点产生位移时，结构内部是否也同时产生应变呢？目的：1）验算结构的刚度；2）超静定结构的内力分析打下基础。2/3/20236结构力学

有位移无应变刚体位移和变形位移：有位移有应变ABCD(a)刚体位移(b)变形位移2/3/20237结构力学(1)线位移

①水平线位移：H

②铅直线位移：V(2)角位移：(3)位移有“相对位移”与“绝对位移”之分。

(4)上述各种位移统称为“广义位移”。与广义位移相对应的力称为广义力。位移的种类：第一种分类方法:第二种分类方法:(1)刚体位移；(2)变形位移。2/3/20238结构力学2.推导位移计算一般公式的基本思路第一步：讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。(计算刚体位移）第二步：讨论静定结构由于局部变形而引起的位移计算问题。(计算变形位移）第三步：讨论静定结构由于整体变形而引起的位移计算问题。(计算总位移）基本思路：化整为零和积零为整。AB2/3/20239结构力学3.应用虚力原理求刚体体系的位移-单位荷载法解：根据平衡条件，可求出支座A的反力：虚功方程：首先要说明一点：在静定结构中，支座移动时并不引起内力也不引起应变，故可用刚体体系虚功原理来求解。（虚设单位力，求位移）即2/3/202310结构力学例5-1如图所示支座A有给定的竖向上位移cA，求ΔC(b)ΔCcAA解：根据平衡条件，可求出支座A的反力：虚功方程：即4.支座移动时静定结构的位移计算2/3/202311结构力学归纳起来，当支座有结定位移cK时，任意静定结构的位移可用虚功原理求出，共计算步骤如下：（1）沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力。（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程：（3）由虚功方程，解出拟求位移C’ABCB’2/3/202312结构力学§

5-2结构位移计算的一般公式计算变形体体系的位移，有两种途径：根据刚体体系的虚功原理，导出变形体体系的虚功原理，再导出变形体体系的位移公式。应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式，然后应用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。这里选择第二种。AB2/3/202313结构力学1.局部变形时的位移公式设悬臂梁在C点附近的微元段CD有局部变形外，结构其他部分没有变形。A1CDAP=1B微元段CD局部变形包括三部：2/3/202314结构力学三种相对应的位移：CDCDA1CDAP=1BCD2/3/202315结构力学应用刚体体系的虚功原理取DA段为隔离体，列虚功方程：即亦有A1CDAP=1BAD2/3/202316结构力学2.结构位移计算的一般公式考虑多个杆件考虑支座位移dx2/3/202317结构力学式(5-15)是一个普遍性公式，它的普遍性表现在下列几个方面：

从变形类型来看，它既可以考虑弯曲变形，也可以考虑拉伸或剪切变形。

从变形因素来看，它既可以考虑荷载引起的位移，也可以考虑温度或支座移动引起的位移。从结构类型来看，它可用于梁、刚架、桁架、拱等各类型式的结构，也可用于静定或超静定结构。从材料性质来看，它可用于弹性材料，也可用于非弹性材料。（5-15）2/3/202318结构力学（5-15）（5-15）式还有一层物理意义：外虚功W内虚功Wi变形体虚功方程=2/3/202319结构力学3.结构位移计算的一般步骤在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位荷载。在单位荷载作用下，根据平衡条件求出结构内力、、和支座反力。最后根据公式（5-15）可求出位移。（5-15）2/3/202320结构力学4.广义位移的计算例如，如图所示为一简支梁，在弯曲变形时．截面A产生顺时针转角θA，截面B产生反时针转角θB，以⊿表示其相对转角。广义单位力广义位移2/3/202321结构力学广义位移和广义单位荷载示例2/3/202322结构力学2/3/202323结构力学（5-15）2/3/202324结构力学根据实际载荷，求得截面弯矩、轴力、剪力§

5-3荷载作用下的位移计算1.计算步骤2/3/202325结构力学荷载作用下弹性位移的一般公式2/3/202326结构力学荷载作用下静定结构位移具体计算的步骤：（1）在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位荷载。（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件求出结构内力、、和支座反力。（3）根据实际载荷，求得截面弯矩、轴力、剪力（4）最后根据如下公式可求出位移。2/3/202327结构力学2.各类结构的位移公式1）梁和刚架2）桁架3）桁梁混合结构4）拱2/3/202328结构力学3.截面平均切应变和系数取微元体:做虚功2/3/202329结构力学而这样又而故(k为一常数,只与截面形状有关)2/3/202330结构力学切应变的截面形状系数k2/3/202331结构力学荷载作用下弹性位移的一般公式为正负号规定：FN

、FNP

拉力为正；FQ、FQP

同材料力学M、MP使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正。§

5-4荷载作用下的位移计算举例2/3/202332结构力学例5-3试求图(a)所示悬臂梁在A端的竖向位移△，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。梁的截面为矩形。实际荷载作用下的内力如图(a)虚设单位荷载作用下的内力如图(b)总位移设μ=1/3，E/G=8/3I/A=h2/121.梁的位移计算2/3/202333结构力学qACB(a)实际状态P=1ACB(b)虚设状态AC段CB段例5-4.试计算悬臂梁A点的竖向位移。1）列出两种状态的内力方程：2/3/202334结构力学AC段CB段2)将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段2/3/202335结构力学CB段设为矩形截面k=1.22/3/202336结构力学3）讨论比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比,由材料力学公式。设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有代入上式2/3/202337结构力学2.静定平面桁架在载荷作用下的位移计算位移公式：注：桁架中，各杆只有轴力，轴力值沿杆长不变。通常各杆所用材料及杆的截面面积沿杆长不变。考虑支座位移：2/3/202338结构力学例5-5.计算桁架结点C的竖向位移，设各杆EA都相同。分析内力：本问题因为桁架与载荷均对称，所有只需计算一半桁架的内力。ABDE解：如图虚设单位力P=11）计算结构在外荷载作用下各杆的内力。利用体系整体平衡关系：由A点的Y方向平衡得：2/3/202339结构力学ABDE利用三角形关系(压力)同理A点X方向平衡得：(拉力)D点X方向平衡：(压力)显然DC杆的杆力为零。2/3/202340结构力学2）计算结构在单位荷载P=1作用下各杆的内力。BADE2/3/202341结构力学为正值表示，C处的位移与虚设单位力的方向相同。由位移公式：3）计算位移BADEABDE2/3/202342结构力学例5-6图(a)所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧

AB的圆心角为α，半径为R。试求B点的竖向位移△。解：虚设荷载如图(b)图(a)中图(b)中12.曲杆的位移计算2/3/202343结构力学设h/R=1/10，E/G=8/3，I/A=h2

/12，k=1.2如果：（h为截面高度）计算结果表明，在给定的条件下，轴力和剪力所引起的位移可以忽略不记。2/3/202344结构力学例5-7试求图(a)所示简支梁两端截面A、B的相对转角△。解：虚设力系如图(b)实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)2/3/202345结构力学4.刚架在载荷作用下的位移计算刚架的位移，主要由弯矩引起，轴力和剪力的影响均较小，可忽略不计。位移公式：例5-8，如图计算刚架C端的水平位移和角位移，已知EI为常数。2/3/202346结构力学解：在载荷作用下，刚架的图如图所示，AB柱BC梁2/3/202347结构力学1）求C点的水平位移，可在C点加一单位力。得图：BC梁AB柱代入位移公式，得：2/3/202348结构力学2）求C点的角位移，可在C点加一单位弯矩。得图：BC梁AB柱代入位移公式，得：2/3/202349结构力学§5-5图乘法静定梁和刚架的位移计算：如果杆轴符合下列条件时：(1)杆轴为直线时；(2)EI＝常数；需先计算各段、，计算较为复杂。(3)与两个弯矩图中至少有一个是直线图形。则可用图乘法代替积分运算。1.图乘法及其应用条件图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。2/3/202350结构力学yxoBA微面积形心C面积BA(1)因为是直杆，所以可用dx代替ds。(2)因为EI是常数，所以EI可提到积分号外。常数(3)直线变化，故有微分面积对y轴的面积矩2/3/202351结构力学yxoBA微面积形心C面积BA所以得到：注意事项：(1)应用条件：杆件应是等截面杆，两个图形中应有一个是直线，取自直线图中。(2)正负号规则：与在杆的同一侧，乘积取正；反之取负。积分化为：面积×相应形心竖标2/3/202352结构力学2.几种常见图形的面积和形心位置2/3/202353结构力学2/3/202354结构力学3.应用图乘法时的几个具体问题(1)yo必须取自直线图形。(2)如果一个图形是曲线，另一个图形是折线，则应分段计算。2/3/202355结构力学(3)图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。2/3/202356结构力学(4)当图乘面积中有正有负时，必须分别图乘。（图乘面积不能同时包含正负面积）2/3/202357结构力学例5-9：图乘法解如图所示简支梁在均布荷载q作用下的B端转角。解：虚设单位力分别作出和：有直线，可利用图乘法，则：2/3/202358结构力学例5-10：如图所示为悬臂梁，在A点作用荷载P，求中点C的挠度。解：2/3/202359结构力学例5-11：如图所示为一预应力钢筋混凝上墙板起吊过程中的计算图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N／m3。A和B为起吊点。求C点的挠度。解：板自重：截面惯性矩：混凝土弹性模量：2/3/202360结构力学2/3/202361结构力学例5-12：求图示刚架结点B的水平位移Δ，设各杆为矩形截面，截面尺寸为b×h，惯性矩I=bh3/12，只考虑弯曲变形的影响。解：2/3/202362结构力学§5-6温度作用时的位移计算静定结构温度改变并不引起内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。杆件的微段，和分别为轴至上、下边缘的距离。2/3/202363结构力学上边缘温度上升下边缘温度上升沿杆截面厚度为线性分布，轴线温度上下温差2/3/202364结构力学轴线温度：上下边缘的温差：伸长应变：曲率：线膨胀系数d温度引起的位移计算公式：2/3/202365结构力学若沿每一杆件的全长为常数，则：以温度升高为正，弯矩和温差引起的弯矩为同一方向时，其乘积取正，反之取负。2/3/202366结构力学例5-13：试求图a所示刚架C点的水平位移。已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上升10°C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对称，线膨胀系数为。解：在C点沿水平方向加一单位力P＝1。P＝12/3/202367结构力学作出相应的、图。并有：轴向上的温度上升值。2/3/202368结构力学式中h为截面高度。所得结果为正值，表示C点位移与单位力方向相同。杆件由于温度改变而发生的弯曲变形，该变形与由于所产生的弯曲变形方向相同(如图虚线所示)，2/3/202369结构力学荷载引起的变形位移：温度引起的变形位移：2/3/202370结构力学应用条件：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比。结构变形很小，不影响力的作用。状态I的力系在状态Ⅱ的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为状态Ⅱ的力系在状态I的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为显然即外虚功内虚功§5-9互等定理1.功的互等定理2/3/202371结构力学如图(a)、(b)，由功的互等定理令或—称为位移影响系数可得即2.位移的互等定理2/3/202372结构力学即位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数，等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数。2/3/202373结构力学3.反力的互等定理由功的互等定理：在线性变形体系中，反力与位移的比值是一个常数，记为，即：反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的位移影响系数，等于由位移c2所引起的与位移c