第五章 线性系统频率分析法

频率响应法是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法，与上一章介绍的根轨迹法一样，它也是一种工程方法。能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应；还能判别某些环节或参数对系统性能的影响。可以对基于物理模型的系统性能进行分析；还可以对来自于实验数据的系统进行有效分析。不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。研究的主要手段有极坐标图(Nyquist图)和伯德图(Bode图)法。第五章线性系统的频域分析法5.1频率特性5.2典型环节和开环系统的频率特性5.3频率稳定判据5.4稳定裕度5.5闭环系统的频域性能指标本章重点：了解频率特性基本特性和相关概念；掌握开环极坐标图和bode图的绘制方法；掌握频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据掌握稳定裕度的概念及求解了解闭环频率特性及绘制方法了解频域指标和时域指标之间的关系5.1频率特性1、频率特性的基本概念频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。设传递函数G(s)可表示成极点形式系统输出C(s)为系统输入信号为：r(t)=Rsinωt，其拉氏变换为若系统稳定，系统响应的稳态值为:其中有稳态输出与输入信号的幅值比稳态输出与输入信号的相角差定义线性定常系统在正弦信号作用下，稳态输出的复变量与输入的复变量之比称为系统的频率特性，记为G(jω)有：例5-1

已知某RC网络如图所示，试利用频率特性的物理意义求解其在正弦输入ui(t)=sint下的稳态输出。2、频率特性、微分方程、传递函数之间的关系3、频率特性的几何表示方法1）幅相频率特性曲线(极坐标图或幅相曲线)

频率特性用一向量表示某一频率下的向量的长度，向量极坐标角为，的正方向取为逆时针方向，选极坐标与直角坐标重合，极坐标的顶点在坐标原点。例5-2绘制RC网络的幅相频率特性曲线。为ω的偶函数为ω的奇函数注意：曲线对称与实轴2）对数频率特性曲线(Bode图)Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两张图组成。半对数坐标：横坐标采用对数坐标，纵坐标采用线性坐标。在Bode图中，ω轴采用对数坐标，在坐标上标明的是ω的实际值，但在坐标轴上的距离却是按ω值的常用对数lgω的大小来刻度的。任意两点之间的距离为十倍频程：频率变化10倍，记作dec。每个dec沿横坐标走过一个单位长度。对数幅频特性：对数幅频特性：纵坐标：单位：dB（分贝），为线性刻度纵坐标：单位：度（°），为线性刻度变化十倍，变化20dB采用对数坐标的优点：1）扩展了低频段，压缩了高频段。2）用对数可将乘除运算变成加减运算。4）由实验所得的数据可用分段直线画出对数频率特性，可以得到实验对象的数学模型。3）在对数坐标图上，所有典型环节的对数频率特性可用分段直线近似表示。例5-3绘制RC网络的对数频率特性曲线。3）对数幅相曲线(Nichols图、尼科尔斯图)由对数幅频特性和对数相频特性合并而成的曲线，横坐标为相频，纵坐标为对数幅值，均采用线性刻度。5.2典型环节与开环系统的频率特性1、典型环节频率特性曲线典型环节：与之对应的非最小相位环节：若系统由n个典型环节串联而成：极坐标图：Bode图：1）比例环节（G(s)=K或-K，K>0）频率特性幅相频率特性：对数频率特性：对数频率特性曲线2）积分与纯微分环节（G(s)=1/s或s）频率特性幅相频率特性：对数频率特性：传递函数互为倒数,Bode图对称于横坐标3)惯性环节和一阶微分环节及对应的非最小相位环节【G(s)=1/(Ts+1)、Ts+1

、1/(-Ts+1)、-Ts+1

】a）最小相位环节频率特性幅相频率特性：对数频率特性：ω=1/T转折频率ω=1/T转折频率惯性环节对数幅频特性渐进性的误差修正曲线为：b）非最小相位环节频率特性幅相频率特性：对数频率特性：ω=1/T转折频率ω=1/T转折频率传递函数互为倒数传递函数互为倒数最小相位和对应的非最小相位环节4)振荡环节和二阶微分环节及对应的非最小相位环节a）振荡环节幅相频率特性曲线：同负虚轴的交点：终点：起点：有谐振频率：或有谐振峰值：或渐近线：准确值：振荡环节对数幅频特性同ζ之间的关系为：振荡环节对数幅频特性渐近线的误差修正曲线为：振荡环节对数相频特性同ζ之间的关系为：b）二阶微分环节同虚轴的交点：终点：起点：幅相频率特性曲线：2、开环对数频率特性曲线结论：由典型环节串联而成的开环系统的Bode图由典型环节的Bode叠加而成！a）开环传递函数按典型环节分解1）绘制Bode图的步骤及其对应的非最小相位环节b）确定各环节的转折频率，按从小到大顺序标在对数坐标ω轴上。c）绘制低频段渐近线d）绘制中频段及高频段渐近线e）采用描点法绘制对数相频特性曲线K<0，起点：终点：K>0，K>0，K<0，各转折频率处：由φ(ω)计算出。例5-3

某系统的开环传递函数为：试绘制系统的开环对数频率特性。40dB20dB0.1121020-20dB当ω=0当ω=1当ω=2当ω=20当ω=∞例5-4

某系统的开环传递函数为：试绘制系统的开环对数幅频特性。若系统为最小相位系统，m2=0，n2=0例5-5

已知某最小相位系统的对数幅频率特性渐近线如图所示，试确定系统的开环传递函数。3、开环幅相频率特性曲线a）曲线的起点和终点1）绘制概略开环幅相曲线的三要素：c）曲线的变化范围（象限、单调性）。b）曲线与坐标轴的交点：例5-6

设某０型系统的开环传递函数为：

试概略绘制系统的开环幅相频率特性。例5-7

设某I型系统的开环传递函数为：

试概略绘制系统的开环幅相频率特性。2）绘制开环幅相曲线的规律：a）低频段的起点：K>0K<0b）高频段的终点：K>0K<0n>mn=m5.3频率域稳定判据1、奈氏判据的数学基础1）复变函数F(s)的构造特点：1）其零、极点，分别为系统的闭环极点和开环极点；2）零极点个数相同，都为n个；3）复平面上F(s)曲线和G(s)H(s)存在一个平移的关系。E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)2）幅角原理由复变函数理论可知，对于s平面上的任意一条不过F(s)任何奇异点（零、极点）的封闭曲线，则可通过映射关系在F(s)平面上找到一条与它相对应的封闭曲线。当s沿着曲线顺时针旋转一周时，则在F平面上对应封闭曲线将以逆时针方向绕原点旋转R周，且N=P-Z，其中Z和P分别为包围的F(s)零点和极点的个数。幅角原理：R=P

-Z3）s平面Γ曲线的选择R=P

-ZrΓR为ΓF曲线逆时针包围坐标原点的圈数，P和Z是F(s)被Γ路径包围的极点和零点的个数，也即闭环不稳定极点和开环不稳定极点个数。0型系统的映射关系：rAn>mn:G(s)H(s)极点个数m：G(s)H(s)零点个数S平面G(s)H(s)平面频率特性R=2NxΓBC<<xxΓGH曲线：a）开环极坐标图当-∞到0-和0+到+∞；b）坐标原点；c）

Γ曲线不能通过F(s)的零极点GH(j0-)到GH(j0+)I型及以上型别系统的映射关系：R=2N2、奈氏判据由构造的Γ路径，画开环幅相曲线(ω从-∞到∞变化)，其逆时针包围(-1,j0)点圈数为R=P-Z，其中P和Z是F(s)被Γ路径包围的极点和零点的个数，也即闭环不稳定极点和开环不稳定极点个数，有：Z=P-R=0系统稳定；否则不稳定若开环频率特性曲线通过(-1,j0)点，则系统临界稳定。由构造的Γ路径，画一半开环幅相曲线(ω从0到∞变化)，其逆时针包围(-1,j0)点圈数为N，有：Z=P-R=P-2N=0系统稳定；否则不稳定1）判据2）一半ΓGH曲线逆时针包围(-1,j0)点圈数N的计算正穿越：随着ω的增大，幅相曲线从上到下穿越负实轴的(-∞,-1)段，伴随着相角的增加。负穿越：随着ω的增大，幅相曲线从下到上穿越负实轴的(-∞,-1)段，伴随着相角的减小。注意：若正(负)穿越起于负实轴，则记为半次正(负)穿越，次数为0.5次。例5-8设某I型系统的开环传递函数为：

试用奈氏判据讨论其闭环稳定性。例5-9已知某单位负反馈系统的开环幅相曲线（K=10,P=0,v=1)如图所示，试确定闭环系统稳定时的K值的范围。3、对数频率稳定判据例5-10已知某三型开环稳定系统的开环对数相频曲线如图所示，图中ω<ωc时，L(ω)>L(ωc),试确定闭环不稳定极点的个数。5.4稳定裕度用幅相曲线同(-1,j0)点的靠近程度来表示系统的相对稳定性，分别为相角裕度和幅值裕度。记开环频率特性为：1、相角裕度2、幅值裕度hh幅值裕度：h=结论：对于一个稳定的系统，同时要求h>0dB,γ>0工程上相角裕度在450～700，幅值裕度>6dB相角裕度的求法：幅值裕度的求法：例5-11某单位负反馈控制系统的开环传递函数为：试分别求1）K=1时的相角裕度和幅值裕度；2）要求通过调整增益K，使系统的幅值裕度h=20dB，相位裕度γ≥40°。即可完全满足要求！例5-12试分析单位负反馈二阶系统的稳定裕度同快速性指标之间的关系。相角裕度同超调量之间的关系:截止频率同调节时间之间的关系:而有引申：高阶系统的快速性指标和稳定裕度之间的关系例5-13试定性分析频域稳定裕度指标同开环增益以及时域指标之间的关系！例5-14设一单位负反馈系统对数幅频特性如图所示(最小相位系统)。1）写出系统的开环传递函数；2）判定系统的稳定性；3）若系统稳定，求单位斜坡信号作用下的稳态误差。1、Generallyspeaking,Forastableminimumphasesystem，whentheopen-loopgainKincreasesits

willincrease.essB)phasemarginC)ts

D)percentovershoot2、Forastablenegativefeedbacksystemthegreater

is,thelesstswouldbe.A)P.O%.B)ωcC)tr