第5章 杆扭转杆件的强度与刚度计算 -

第5章扭转杆件的强度和刚度计算5.1圆轴扭转时的应力和变形计算5.2圆轴扭转时的强度和刚度计算5.3非圆截面杆的自由扭转简介5.1圆轴扭转时的应力和变形计算一、描述变形的指标三、薄壁圆筒的扭转二、等直圆杆扭转的应力返回*扭转角（）：任意两截面绕轴线转动的相对角位移。*剪应变（）：直角的改变量一、描述变形的指标返回*

平面假设

横截面象刚性平面一样绕轴线转过一个角度。5.1.1等直圆杆扭转的应力1、实验观察：横截面仍为平面；轴向无伸缩；纵向线变形后仍为平行。返回2、横截面上的应力：1）.变形几何关系：距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。剪切虎克定律：

2）.物理关系

剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比γ是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料：*重要关系Ttmaxtmax变形关系代入虎克定律：虎克定律：3）.静力学关系令代入物理关系得：OdA*讨论：1仅适用各向同性、线弹性材料，小变形的圆截面等直杆。2T—横截面上的扭矩，由平衡方程求得。

—该点到圆心的距离Ip—极惯性矩，纯几何量3应力分布tmaxtmaxtmaxtmax（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，结构轻便，应用广泛。4确定最大剪应力Wp—抗扭截面系数（抗扭截面模量）

mm3或m35.1.2Ip的计算单位：mm4，m4对于实心圆截面：DdO对于空心圆截面：dDOd对于实心圆截面：对于空心圆截面：薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）1、实验：*实验前：绘纵向线，圆周线5.1.3薄壁圆筒的扭转返回*实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。*结论①各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动②各纵向线均倾斜了同一微小角度③所有矩形网格均歪斜成同样的平行四边形。acddxbdy´´

①无正应力②横截面上各点，只产生垂直于半径的均布的剪应力，沿周向大小不变*微小矩形单元体：2、薄壁圆筒剪应力：

A0：平均半径所作圆的面积。3、剪应力互等定理acddxbdy´´tz纯剪切应力状态例5-15.2圆轴扭转时的强度和刚度计算5.2.1圆轴扭转时的强度计算5.2.2圆轴扭转时的刚度计算5.2.3圆轴扭转时斜截面上的应力返回5.2.1圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]

：许用剪应力)*强度的三种计算：①校核强度：②设计截面：③求许可载荷：返回

功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴，

[]=30MPa,试校核其强度。解：①作扭矩图，确定危险截面②此轴满足强度要求D3

=135D2=75D1=70ABCmmTmx（1）（2）强度相同（3）比较重量5.2.2圆轴扭转时的刚度计算1、扭转时的变形由公式长为l的两截面间相对扭转角

为（当T为常量时）返回2、单位长扭转角3、刚度条件4、刚度的三种计算①校核刚度：②设计截面③求许可载荷：传动轴，n=500r/min，输入N1=500马力，输出N2=200马力及N3=300马力，G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？解：作内力图

500400N1N3N2ACB

Tx–7.024–4.21(kNm)500400N1N3N2ACBxMn–7.024–4.21(kNm)*由强度条件500400N1N3N2ACBT–7.024–4.21(kNm)*由刚度条件(2),全轴选同一直径时Tx–4.21(kNm)2.814例5-4长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为a=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。5-3扭转超静定问题

例题两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。(a)

解:

1.有二个未知约束力偶矩MA,MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。(a)MAMB

2.以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移相容条件为注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为3.根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为4.杆的AC段横截面上的扭矩为从而有(a)

例题2由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。(a)

解:

1.铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩──扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb=Me，故为一次超静定问题。TaTb(b)2.位移相容条件为3.利用物理关系得补充方程为4.联立求解补充方程和平衡方程得：TaTb(b)5.铜杆横截面上任意点的切应力为钢管横截面上任意点的切应力为上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在r=a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径