高二物理竞赛准经典运动课件

1、准经典运动一、

波包与电子速度在晶体中，可以用含时间的Bloch函数来组成波包。一维情况：设波包由以k0为中心，在Dk的范围内的波函数组成，

并假设Dk很小，近似认为uk

x

uk0

x

不随k而变对于一确定的k

，含时的Bloch函数为y

k

x,

t

ei

kx

w

t

uk

x

w

k

E

k

Hume－Rothery定律实验发现，在许多合金体系中，电子浓度是决定合金具有什么相结构的重要参量。一定的电子浓度将出现一定的相，这种现象称为Hume－Rothery定律。具有一定电子浓度的合金相称为电子化合物。以Cu

－Zn合金相图为例：纯Cu的晶体结构是面心立方，

当掺入Zn后，随Zn含量的逐渐增加，其结构将发生一系列变化：由a相®b相®g相®e相®h相。修正的依据v

电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能量，周期场的影响使等能面在布里渊区边界面附近发生畸变，形成向外突出的凸包；v

等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交；v费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决于电子与晶格相互作用的细节；v

周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。En(k)的平移对称性：

En(k)＝En(k±Gn’)

En

En

在布里渊区边界面附近：

k

＝k

∥＋k^

在布里渊区边界面上：

k

Gn

证明在一般情况下，等能面与布里渊区边界面垂直相交：En(k)具有反演对称性：

En(k)＝En(－k)

k

k

k

k

Gn

En

k

En

k

-kk

E

E

E

k

Gn

k

Gn

0如果沿一个边界面的法线方向上处处都有

kn

Gn

0那么，与该边界面相交的等能面必与此边界面垂直。nnnnnnnnnnnnnnnnn

En

En

En

En

k

k

k

-k

k

k

k

k

Gn

En

Gn

k

Gn

En

Gn

k

Gn

沿布里渊区边界面的法线方向上，

En

k

En

k例：二维正方晶格近自由电子的费米面图形。设二维晶格的晶格常数为a

，晶体的原胞数为N，k的分布密度：

rk

设平均每个原子有h个价电子，

即电子浓度为h电子/原子。对于简单晶格：hN

2r

k

pk

2

pk

k

kF

1

p

k1

F2F2F2a

a

p

p电子浓度hkF/k110.79821.12831.38241.59651.78461.954为简约区的内切圆半径k

p

a其中yxkk1简约区中自由电子的费米面第一能带h=4,

5,

6第二能带第四能带第三能带h=2,

3h=1简约区中近自由电子的费米面第一能带h=4,

5,

6第二能带第四能带第三能带h=2,

3h=1v当Zn的原子浓度在~38％以下时，是以Cu为基的fcc

固溶体，称为a相；v当Zn的原子浓度在38

－50％之间时，将出现新相，称为b相，是bcc结构，

其化学式为CuZn

，电子－原子比（即电子浓度）为3/2

，是一种电子化合物；v

当Zn的原子浓度大于50％时出现g相，为复杂立方结构，

每个晶胞中有52个原子，

其化学式为Cu5Zn8，电子－原子比（电子浓度）为21/13；v当Zn的原子浓度~67％时，出现e相，为密排六方结构，

c/a

<1.633

，化学式为CuZn3

，电子浓度为7/4；v在纯Zn附近，

形成以Zn为基的固溶体h相，为近似密排六方结构，

c/a

>

1.633。l在近自由电子情况下，当离布里渊区边界面较远时，

其等能面与自由电子基本相同，近似为球面。l当等能面靠近布里渊区边界面时，由于周期场的影响，等能面将发生畸变，形成向外突出的凸包，从而使其能态密度大于自由电子的能态密度。l当等能面与布里渊区边界面相切时，能态密度达到极大值。其后，能态密度随能量的增加而迅速减小。l当考虑电子填充时，随着电子浓度的增加，费米面逐渐靠近布里渊区边界面；当电子浓度达到一定值时，

费米面将与布里渊区边界面相切。l如电子浓度继续增加，由于能态密度随能量的增加而迅速减小，电子将不得不往更高的能态上填，从而使系统的总能量升高，这种结构将不再是稳定的，

而趋于转变为另一种可使系统的总能量降低的结构，

即发生相变。纯Cu的晶体结构：

fcc当掺入的Zn含量较少时，其晶体结构是以Cu为基的fcc

固溶体（a相）。设fcc

的晶格常数为a

，则其倒格子是格常数为4p/a的bcc

。其简约区是由8个{111}面和6个{100}面所围成的十四面体。

简约区内切球的半径k1(a)及内切球所对应的饱和电子浓度（电子－原子比）h1(a)。当体系的电子浓度大于h1(a)

时，

a相固溶体将不再稳定，

而趋于转变为另一种其内切球中可以填充更多电子的b相（bcc

）。这时，

b相比a相更稳定，

于是，发生了从a相向b相转变的相变。对于b相（bcc结构），

同样可求出其简约区的内切球半径k1(b)及