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Sommerfeld展开式及其应用

Sommerfeld展开式及其应用1）问题的提出在定量计算金属性质时，常会遇到以下形式的积分和这里，f(E)为F—D分布函数，，这种积分不能用精确的解析表达式积出，因而给定量计算金属的性质带来困难。所幸的是，由于金属的费米能EF0>>kBT，当T>0时，只有在费米面附近的一小部分电子被激发而跃迁到高能态，而比EF0低几个kBT的电子仍保持原来的状态，因此，上述的积分可以作适当的近似处理。0kxky0时，电子在电场的作用下沿电场的反方向作加速运动：这表明，在电场作用下，整个电子分布将在k空间沿的反方向移动。所以，费米球的球心将偏离原点位置，从而使原来对称的分布偏向一边，这样就有一部分电子对电流的贡献不能被抵消，而产生宏观电流。0kxkykFⅠⅡ右图中Ⅰ和Ⅱ是关于ky－kz面对称的这两个区域的电子对电流的贡献相互抵消，只有在费米面附近未被补偿部分的电子才对传导电流有贡献，这部分电子所占的分数为这部分电子对电流的贡献为

根据这一模型，对传导电流有贡献的电子数目虽然少，但其运动速度很快，其结果与高浓度但低漂移速度的电子对电流的贡献相同。严格理论计算结果支持了后一种说法。这主要是由于Pauli不相容原理的结果。能量比EF低得多的电子，其附近的状态仍被其他电子所占据，没有空状态来接纳它，因此，这些电子不能吸收电场的能量而跃迁到较高的能态，也无法对电导作出贡献，能被电场激发的只有在费米面附近的一小部分电子。Sommerfeld电导率Sommerfeld展开式设函数Q(E)在（-，+）上连续可微，Q(0)＝0，并且满足条件，其中α为大于0的常数。在kBT<<EF的情况下，有其中为F－D分布函数证明：考察：分部积分(-df/dE)是（E－EF）的偶函数；

(-df/dE)的值集中在E－EFkBT的一小范围内，当

E－EF>几个kBT时，函数的值迅速趋于0，具有

类似于函数的性质。

因此，积分的贡献主要来自E~EF附近的区域，由于EF>>kBT，所以，我们可以将积分的下限由0改为-∞，而并不会影响积分值。

由于值集中在E=EF附近，因此，可将Q(E)在E=EF附近展开成Taylor级数。利用Taylor展开式：3）Sommerfeld展开式的应用（1）EF的确定

对于金属，由于TF>>T，所以EF

EF0

。我们可以定性地分析为什么EF会略低于EF0

。当T>0时，由于TF>>T，所以电子的分布函数只在费米能附近几个kBT的范围内有变化，而离费米能较远处电子的分布于T=0时相同。在有限温度下，EF0以下能态的占有几率减小，而EF0以上能态的占有几率增大，可以认为，EF0上下电子占有几率的增大和减小是关于EF0对称的。但是，由于电子的能态密度N(E)随E的增加而增大，即EF0以上的N(E)大于以下的N(E)

，因此，若EF0上、下电子能态占有率的增加、减少相同，则EF0以上要多填一些电子。因此，若保持EF

=EF0

，那么系统的电子数就要增加，但实际上系统的电子数是一定的，因此，EF必

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