高二物理竞赛能带理论基础课件

能带理论基础

第一部分晶体结构和X射线衍射第二部分晶格振动和晶体的热学性质第三部分金属的自由电子理论第四部分能带理论基础第五部分准经典运动1）基本假定

电子在一有限深度的方势阱中运动，电子间的相互作用可忽略不计（自由电子近似，独立电子近似）。电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计；电子的填充满足Pauli不相容原理；电子在运动中存在一定的散射机制（弛豫时间近似）。Drude 经典理想气体 Sommerfeld 量子理想气体2）本征态和本征能量我们把自由电子气等效为在温度T=0，V=L1×L2×L3的立方体内运动的N个自由电子。独立电子近似使我们可以把N个电子问题转换为单电子问题。其运动方程为：其中，U为电子在势阱底部所具有的势能，为简单起见，可选取U

＝0。令k2

2mE有h22

k

2

0(1.6.3)(1.6.4)(1.6.5)⎞⎝⎛

U

⎟

E⎠2⎜

2mh2在k空间中，电子态的分布是均匀的。二维正方所对应的k空间中电子态分布。每个点对应一个电子态，每个态占据k空间(2/L)2的的面积三维情况，k空间中电子态所对应的等能面为球形。能级填充到N/2能量态密度（态密度）电子在能级上的填充遵守泡利不相容原理（Pauli

exclusion

principle）T=0，电子从最低能级开始填充（能量最低原则），每个能级可以填2个电子（自旋参量）能量相同的电子态数目称为简并度电子填充的最高能级称为费米能（FermiEnergy,EF

）0每个能级可以填2个电子3323432mV 4

8

3 3

k 2

E

2h3Z

E

2

k

323V 2m

E

23

2h3定义：能态密度(能量态密度，在单位能量间隔内允许存在的量子态数目)32112 3V 2mdZ

N

E

E

2

CE

2dE

2

h其中：

32V 2mC

2

2h3由此可见，电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高，能态密度就越大。(1.6.19)(1.6.20)(1.6.21)0E0FEN(E)电子（能）态密度曲线3211V 2mdZ

N

E

dE

E

2

CE

22

2h30FF2E

03NN

E

2 2FFE02mh

kF22mE0kF

h——

费米半径Fermiwave

vectorPF

hkF——

费米动量Fermi

momentumFVm

hkF——

费米速度Fermi

velocity——

费米能Fermi

energy基态时(T=0)，电子在k空间的分布Fermi球Fermi面化学势 Fermi能 EF∴电子比热直流电导－－k空间图像

ne2FmSommerfeld展开式设函数Q(E)在（-，+）上连续可微，Q(0)＝0

，并且满足条件，其中α为大于0的常数。在kBT

<<

EF的情况下，有Elim

e

EQ

E

0

226FBFk

T

Q

EI

f E Q E dE

Q

E0其中1expFk

TfE

⎛⎞E

E

1⎜⎟⎝

B ⎠为F－D分布函数当Ce=CL时，可求出此时的温度2

D cF24

T5Z3T CLCeTCT0C实验值对于简单金属，

D

~

102K，

TF

~

104

K，估算出TC

~1

K的数量级。所以，在很低温度下，电子热容量与晶格热容量同数量级，这时，电子热容量就不可忽略。

功函数和接触电势热电子发射和功函数实验表明，热电子发射的电流密度为2W⎛

⎞j

AT

exp

⎜k T

⎟⎝

B ⎠其中A为常数，W为功函数（或脱出功），即电子逸出金属所需克服的势垒。V0EF0xV金属真空Richardson－Dushman公式

W接触电势W1(EF)1(EF)2W2金属1金属2W1W2EF

金属1金属2当两块不同金属1和2相接触或用导线相连接时，这两块金属会同时带电，而具有不同的电势V1和V2，这种电势称为接触电势。eV12能带论的三个基本（近似）假设：Born－Oppenheimer绝热近似：离子的波函数与电子的位置及状态无关多粒子问题→多电子问题Hatree－Fock平均场近似：忽略电子与电子间的相互作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用。多电子问题→单电子问题周期场近似(Periodic

potential

approximation)：单电子问题→单电子在周期场中运动问题Bloch定理在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为2E r2m⎡2

⎤

⎢

U r ⎥

r⎣

⎦h其中，U(r)

=

U(r+Rl)为周期性势场，Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢，方程的解为：

kr

e u r

ik