高二物理竞赛倒格子、布里渊区课件

倒格子、布里渊区

倒格子、布里渊区一、倒格子1、定义：设晶格（正格子）的基矢为，定义满足1 2 3a

,

a

,

ai,j

1,2,30, i

j2

, i

ja

i bj的矢量b1,b2

,

b3

为倒格子基矢。

(h1,

h2

,

h3

0,1,2,3,)

G

h1b1

h2b2

h3b3,称为倒格子（或倒易点阵、倒易空间晶格）倒格矢晶面间夹角1h2h2

k

2

l

22 2

k

2

l

2

1 1 2h1h2

k1k2

l1l2(h1,

k1,l1

)

,

(h2

,

k2

,l2

)

两个晶面系的夹角余弦

cos

解理面密勒指数简单的晶面族，其面间距比较大，晶面上格点密度大，晶面之间的结合力较小，容易劈裂，称这些晶面为解理面。如：锗、硅、金刚石的解理面（111）面。(100)(110) (111)二、倒格子与正格子的关系基矢关系：倒格子的每一个基矢与正格子的两个基矢正交。23 1 11 2 322 1 31b

a

,

b

ab

a

,

b

ab

a

,

b

a211 231 323213 1 2 d1 3

2 3

a

aa

a

a

a

a

a1

a3a

a

a

da

a

a2

a3a

a

a

da

a

2

b

2

2

b2

2

2

b1

2

由定义得到：

a

a

a

d 1 2 3倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与正格子基矢的量纲成倒数。原胞体积关系：

a

a

a

d 1 2 3正格子原胞体积倒格子原胞体积dr

d

d

2 3 d 1213132b1 b2 b3)

a

(a

a)(a

a

))(a

a(a

a

2

3

2

3

2

3

(a

a

)

(a

a

)1 3 1 2

利用

A(B

C)

(AC)B

(

A

B)CA

(a1

a3

),

B

a1,C

a2d 1

a

(a

a

)

a

a

(a

a

)

a

a1 3 2 1 1 3 1 2倒格矢与正格子晶面系的关系：a2/h20GABBCa1a3a23h3a2h2aA、倒格矢）中最靠近原点O的12

3Ghh

h

与正格子晶面系正交

h1b1 h2b2 h3b31 2 3证明：晶面系（

h

,

h

,

h1 2 3晶面ABC在基矢

a

,

a

,

a

上的截距分别是：

1

h1a2a

a13h1 h2 h3a得到在ABC面上的两个矢量：h1 h3a

a

3CA

OA

OC

1a

aCB

OB

OC

2

3h2

h3

h1 h3

G

CA

(h1b1

h2b2

h3b3

)

1

3

2

2

0

a

a

h2 h3

G

CB

(h1b1

h2b2

h3b3)

2

3

2

2

0

a

a

倒格矢的模等于晶面系面间距倒数的12

3Ghh

h

h1b1 h2b2 h3b32

倍。GGGa GGGd

13 32 21

1

11h1h2h3

2hb

h

b

hb

h1

a

h

1

OA(h1,

h2

,

h3

0,1,2,3,)三、晶格周期函数的傅立叶展开V

(r

)

V

(r

)Rn 晶格周期函数Rn晶格中某点的位置坐标，：晶格平移矢量，rr

a

a

a1

1 2 2 3 31,2

,3为实数33221 11 1 2 2 3 31)a

)

V

(

1)a

(

1)a

(V

(r)

V

(

a

a

a

)记为1 2 3

V

(1

1),

(2

1),

(3

1)V

(r)

V

(

,

,

)1 2 3V

(r)

V

(

,

,

)可以展开成周期为１的傅立叶级数：2

1

2k

G

G按定义，布里渊区界面是倒格矢

G 的垂直平分面，设倒格子空间矢量为

k

，如布里渊区1、定义、意义布里渊区定义为倒格子空间中的WS原胞。布里渊区的意义在于它给晶体衍射条件提供了一个生动、清晰的几何解释。2、如何确定布里渊区A、通过布里渊区界面方程布里渊区界面方程

k果矢量 的端点在布里渊区界面上，则有：在倒格子空间中，满足上式的

k

的端点的集合构成布里渊区界面，称为布里渊区界面方程。221 k

G

G按定义，布里渊区界面是倒格矢

G 的垂直平分面，设倒格子空间矢量为

k

，如

果矢量

k 的端点在布里渊区界面上，则有：

的端点的集合构成布里渊区界面，称为布里渊区在倒格子空间中，满足上式的界面方程。kOCGC1k2

1 k1

GC

2

GCDGDk22

1 k2

GD

2

GDB、

按定义作图第一布里渊区：在倒格子空间中以某一格点作为坐标原点，由原点到最近邻的倒格点引倒格矢，然后作倒格矢的垂直平分面，这些所围区域。第二布里渊区：在倒格子空间中以某一格点作为坐标原点，由原点到次近邻的倒格点引倒格矢，然后作倒格矢的垂直平分面，这些平分面所围成的界面到第一布里渊区界面所围区域。第三布里渊区：在倒格子空间中以某一格点作为坐标原点，由原点到再次远的倒格点引倒格矢，然后作倒格矢的垂直平分面，这些平分面所围成的界面与第一布里渊区界面、第二布里渊区界面所围区域。第四布里渊区：„例1：二维正方晶格的布里渊区二维正方晶格的基矢：

21a

ai

,

a

aj倒格子基矢：i

,

ba 2b1

2

2

jjaa2

2

倒格矢：

G

n1 a i

n2倒格子空间的任意矢量：

k

kxi

ky

j代入布里渊区界面方程，得到：

1

2k

G

G222 21n

n

n1kx

n2ky

aa ayyx x

,

k

a a得到第一布里渊区界面方程：

k

,