2.1第九章应力和应变分析和强度理论

第九章应力和应变分析和强度理论二主平面和主应力主平面:单元体上无剪应力作用的方向面.主应力:主平面上的正应力.约定σ1≧σ2≧σ3主方向:主平面外法线方向.或平行于主应力的方向.三应力状态分类按主应力不为零个数划分为:简单应力状态:单向应力状态—1个主应力不为零.复杂应力状态:二向应力状态—2个主应力不为零.三向应力状态—3个主应力不为零.σ2σ3σ1

§9-1应力状态概念一一点的应力状态1一点的应力状态概念点的概念:指明是哪点的应力.面的概念:过一点哪个方向面上的的应力.一点的应力状态:一个点各个方向面上的应力情况.2一点的应力状态的表示方法(1)空间应力状态:9个分量6个独立.(2)平面应力状态:4个分量3个独立.(3)单向应力状态:1个分量.σxσyσzτxyτxzτyxτyzτzyτzx第九章应力和应变分析强度理论σxσyτxyτyx§9-2二向和三向应力状态实例圆形薄壁容器(t<<D/20)其内压为p,筒底总压力pDtσ´p为二向应力状态σ"=σ1σ´=σ2σ"σ´pσ"σ"pyxσ"σ"dφφL§9-3二向应力状态分析—解析法1斜截面上的应力ασxτxyσyτyxατyxσyσxτxyσαταntΣN=0σαdA+τxydAcosαsinα-σxdAcosαcosα+τyxdAsinαcosα-σydAsinαsinα=0ΣT=0ταdA-τxydAcosαcosα-σxdAcosαsinα+τyxdAsinαsinα+σydAsinαcosα=0τxy=τyxσxσyτxyτyxααdAdAsinαdAcosα2主平面和主应力直接判定法:把单元体对称分为四个象限,剪应力箭头所指交线象限内的主方位角对应的主应力为极大值,另一个为极小值.ττ´σcττ´σtττ´取主方位角α0和α0+π/2代入斜截面公式,求得主应力令主方位角和主应力的对应关系的判定方法—直接判定法3极大极小剪应力及其所在平面4讨论(1)(2)(3)σ1，2+σ2，3=σx+σy=σα+σα+π/2取极大极小剪应力所在平面方位角α1和α1+π/2代入斜截面公式,求得极大极小剪应力和令§9.4二向应力状态分析—图解法1应力圆(莫尔圆)(3),(2)二式平方称为应力圆方程,也称为莫尔圆.其中σα,τα为变量.相加得(1)(2)(3)为圆心,半径的圆方程.2应力圆的画法所在位置D按比例量取OA=σx,AD=τxy,确定D点.(2)确定y平面及其应力大小所在位置D´按比例量取OB=σy,BD´=τyx,确定D´点.(3)确定圆心位置,画应力圆连接DD´交σ轴于C,以为CD半径画应力圆.σxσyτxyτyxστD(σxτxy)D´(σyτyx)CABOE(σατσ)F圆心座标半径σ1σ2τmaxσxσyτxyτyxσxσyτxyτyx知:σx=80MPa,σy=-40MPa,τxy=-60MPa,τyx=60MPa.求:(1)画出单元体;(2)主应力;(3)主方向.解:(1)画出单元体(2)解析法α0=22.50或者112.50,主单元体图示(3)图解法作应力圆图示量得σ1=105MPa,σ3=-65MPa,α0=22.50或者112.50στD´(-4060)COD(80-60)σ1σ3σ1σ322.5˙112.5˙σxσyτxyτyx§9.5三向应力状态一应力圆方程xσ1σ2σ3yzpxpyztσ1σ2σ3yxzσnτnn设斜面法线n的三个方向余弦为l,m,n且l2+m2+n2=1(1)ΣX=0,pxdA-σ1ldA=0ΣY=0,pydA–σ2mdA=0ΣZ=0,pzdA–σ3ndA=0px=σ1lpy=σ2mpz=σ3n又有p=σn2+τn2σn=pxl+pym+pzn=σ1l2+σ2m2+σ3n2(2)τn2=p2-σn2=σ12l2+σ22m2σ32n2-σn2(3)σ2yσ1σ3xz总应力p§9.5三向应力状态一应力圆方程xσ1σ2σ3yzpxpypztσ1σ2σ3yxzσnτnnσ2yσ1σ3xz应力圆方程{二应力圆D(σατα)σσ1σ2σ30ττ12τ13τ231三个圆周交于一点,交点座标就是斜截面上的应力.2三个应力圆的区域(1)l2(σ1-σ2)(σ1-σ3)≧0第一个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(绿色).(2)m2(σ2-σ3)(σ2-σ1)≦0第二个应力圆方程半径小于和它同心的圆周(黄色).(3)n2(σ3-σ1)(σ3-σ2)≧0第三个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(粉红色).三个圆周围成的区域中任一点D表示任意斜截面上的应力.3最大最小正应力σmax=σ1σmin=σ34主剪应力§9.6平面应变状态分析一平面应变状态分析ααyxx´y´在xoy座标下应变为εxεyγxy旋转α角度在x´oy´座标下应变为εα,§9.6平面应变状态分析一平面应变状态分析比较转轴公式比较斜截面应力公式三套公式类似ααyxx´y´在xoy座标下应变为εxεyγxy旋转α角度在x´oy´座标下应变为εα,二主应变和主应变方向主应变三应变的实测实测中γxy不易测定,可先测定三个选定方向的线应变计算联立解出εxεyγxy实测中常用的有直角应变花和等应变花60°60°60°ε60°ε120°ε0°xy45°45°ε0°ε45°ε90°εmaxεmin}=§9.7广义胡克定律1广义胡克定律σyσxσzτxyτxzτyxτyzτzyτzxτxyσxσyτyxσzτyzτzyτzxτxz+=ab棱边改变形状改变ΔaΔacΔc角度改变—剪应变以上六式称为广义胡克定律棱边改变—线应变σ1σ3σ2σxσyτxyτyx3平面问题{2主应变{或{其中4体积应变变形前体积V=dxdydz变形后体积V1=(1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)dxdydz=(1+ε1+ε2+ε3)dxdydzσ1σ2σ3dxdyε1dxdzε2dyε3dz单位体积改变称为体积应变令--体积弹性模量--平均应力简单应力状态比能三向应力状态比能σ1σ2σ3σmσmσmσ1-σmσ2-σmσ3-σm=+体积改变形状改变体积改变比能§9.8复杂应力状态的变形比能形状改变比能例导出各向同性线性材料常数E,G,μ之间的关系.解:纯剪切时σ1=τσ2=0σ3=-τ变形比能三向应力状态比能两式相等(1)(2)7.10强度理论概述一材料的破坏形式(1)塑性屈服(2)脆性断裂二应力状态对材料破坏形的影响(1)拉伸带切口的低碳钢发生脆性断裂的原因:切口尖端材料处于三向拉应力状态.(2)压缩加围压的大理石发生塑性屈服的原因:材料处于三向压应力状态.σ1σ2=σ3σ3σ3σ2=σ1=pσ1ppP应力状态的改变会影响会影响同一种材料的破坏形式.如:拉伸低碳钢,压缩铸铁.如:拉伸铸铁,扭转铸铁.极限应力σu和τu是直接由实验测得,而建立的强度条件.不考虑材料破坏的原因.2复杂应力条件下的强度条件(1)提出假说例如:常用的四个强度理论就基于如下假说a材料的某一破坏是由某一特定因素引起的.b无论是简单应力状态还是复杂应力状态下,某种类型的破坏是由同一因素引起的.于是可以用简单应力状态下的结果建立复杂应力状态下的强度条件.(2)建立强度准则(3)实践检验三强度条件的建立1简单应力条件下的强度条件§9.9常用的四个强度理论实用范围:脆性材料,如铸铁,陶瓷,工具钢等.实用范围:脆性材料,如合金,铸铁,石料等.脆性材料在二向压缩和二向拉伸情况下此理论误差较大.1最大拉应力理论(第一强度理论)引起材料破坏的主要原因:σmax=σb=σu强度条件2最大伸长线应变理论(第二强度理论)引起材料破坏的主要原因:εmax=ε1=εu简单应力状态下复杂应力状态下强度条件实用范围:塑性A3材料,如A3,45钢,銅,铝等.实用范围:塑性A3材料,如A3,45钢,銅,铝等.引起材料破坏的主要原因:简单应力状态下复杂应力状态下强度条件3最大剪应力理论(第三强度理论)4形状改变比能理论(第四强度理论)引起材料破坏的主要原因:简单应力状态下σ1=σsσ2=0σ3=0复杂应力状态下强度条件5相当应力{其中i=1、2、3、4σ1σ2σ3=安全程度σr≤[σ]σ1σ2σ3试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件,并寻求许用剪应力与许用拉应力之间的关系