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文档简介
一、填空题1.在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则角B=________.2.已知数列{an}为等差数列,且a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=________.3.设-2是a与b的等差中项,4是a2与-b2的等差中项,则a-b=________.4.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m=________.5.已知等差数列{an}前7项的和S7与前4项的和S4的差等于3,若a1=1,ak+a4=2,则k=________.6.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第4节的容积为__________升.7.Sn是等差数列{an}的前n项和,若eq\f(Sn,S2n)=eq\f(n+1,4n+2),则eq\f(a3,a5)=__________.8.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有200项,则它们的公共项的个数有________.9.已知数列{f(n)}中f(3)=12,若对任意正整数n都有f(n)-f(n+1)=2,则使f(m)<0的正整数m的最小值是____________.10.已知前n项和为Sn的等差数列{an}的公差d=-eq\f(1,2),如果当且仅当n=8时Sn取得最大值,则首项a1的取值范围是______________.二、解答题11.在等差数列{an}中,a1=1,S5=-15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-48,求k的值.12.在各项都不相等的等差数列{an}中,a1,a2是关于x的方程x2-7a4x+18a3=0的两个实根.(1)试判断-22是否在数列{an}中;(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值.13已知数列{an}的前n项和为Sn,S1=-eq\f(1,4),an-4SnSn-1=0(n≥2).(1)若bn=eq\f(1,Sn),求证:{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.
1.60°解析:∵A,B,C成等差数列,∴2B=A+C.又A+B+C=180°,∴B=60°.2.42解析:设公差为d,则a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d=13,解得d=3,所以a4+a5+a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)=3a1+12d=42.3.-2解析:依题意a+b=-4,a2-b2=8,∴8=(a-b)(a+b)=-4(a-b),∴a-b=-2.4.8解析:∵a3+a6+a10+a13=4a8=32,∴a8=8,即m=8.5.任意正整数解析:由S7-S4=3,得a5+a6+a7=3,即a6=1.又a1=1,所以d=0,ak+a4=2,ak=1,故k为任意正整数.6.eq\f(10,11)解析:设自上而下第一节竹子容量为a1,且数列{an}为等差数列.则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,,a7+a8+a9=3a1+21d=4,))解得a1=eq\f(13,22),d=eq\f(7,66),故a4=a1+3d=eq\f(60,66)=eq\f(10,11).7.eq\f(3,5)解析:∵eq\f(Sn,S2n)=eq\f(n+1,4n+2),∴eq\f(a1,a1+a2)=eq\f(1,3),解得a2=2a1,∴数列{an}的公差d=a1,∴a3=3a1,a5=5a1,∴eq\f(a3,a5)=eq\f(3,5).8.50解析:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an},则a1=11.∵数列5,8,11,…与3,7,11,…的公差分别为3和4,∴{an}的公差d=3×4=12,∴an=11+12(n-1)=12n-1.又5,8,11,…与3,7,11,…的第200项分别为602和799,∴an=12n-1≤602,即n≤.又n∈N*,∴两数列有50个相同的项.9.10解析:依题意,令an=f(n),则an+1-an=f(n+1)-f(n)=-2,所以数列{an}是公差d=-2的等差数列.又a3=f(3)=12,所以12=a1+2d=a1-4,解得a1=16,an=16-2(n-1)=18-2n,于是f(m)=am=18-2m.令18-2m<0,解得m>9,又n∈N*,所以使f(m)<0的正整数m的最小值是10.10.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2),4))解析:由题意可知a8>0且a9<0,即a1-eq\f(7,2)>0且a1-4<0,所以eq\f(7,2)<a1<4.11.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,S5=-15,可得5+10d=-15,解得d=-2,即an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n,所以Sn=eq\f(n[1+3-2n],2)=2n-n2.令2k-k2=-48,即k2-2k-48=0,解得k=8或-6.又k∈N*,故k=8.12.解:(1)依题意,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1+a2=7a4,,a1a2=18a3,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1+a1+d=7(a1+3d),,a1(a1+d)=18(a1+2d),))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1=-4d,,aeq\o\al(2,1)+a1d=18a1+36d,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1=0,,d=0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1=12,,d=-3.))因为数列{an}中各项都不相等,所以d≠0,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1=0,,d=0))不符舍去,因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1=12,,d=-3,))故an=a1+(n-1)d=15-3n.令15-3n=-22,解得n=eq\f(37,3).因为eq\f(37,3)不是正整数,所以-22不在数列{an}中.(2)由(1)知an=15-3n,令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0,,an+1≤0,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15-3n≥0,,15-3(n+1)≤0,))解得4≤n≤5,所以n=4或5时,Sn取最大值eq\f(5(a1+a5),2)=30.13.(1)证明:当n≥2时,由an-4SnSn-1=0,an=4SnSn-1,得Sn-Sn-1=4SnSn-1,所以eq\f(1,Sn)-eq\f(1,Sn-1)=-4,即bn-bn-1=-4.又b1=eq\f(1,S1)=-4,故{bn}是首项为-4,公差为-4的等差数列.(2)解:由(1)可得bn=-4-4(n-1)=-4n,即eq\f(1,Sn)=-4n,所以Sn=-eq\f(1,4n).当n≥2时,an=Sn-Sn
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