高中数学苏教版第二章数列等差数列

一、填空题1.在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B＝________．2.已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________．3.设－2是a与b的等差中项，4是a2与－b2的等差中项，则a－b＝________．4.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝________．5.已知等差数列{an}前7项的和S7与前4项的和S4的差等于3，若a1＝1，ak＋a4＝2，则k＝________．6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第4节的容积为__________升．7.Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(Sn,S2n)＝eq\f(n＋1,4n＋2)，则eq\f(a3,a5)＝__________．8.已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有200项，则它们的公共项的个数有________．9.已知数列{f(n)}中f(3)＝12，若对任意正整数n都有f(n)－f(n＋1)＝2，则使f(m)＜0的正整数m的最小值是____________．10.已知前n项和为Sn的等差数列{an}的公差d＝－eq\f(1,2)，如果当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则首项a1的取值范围是______________．二、解答题11.在等差数列{an}中，a1＝1，S5＝－15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－48，求k的值．12.在各项都不相等的等差数列{an}中，a1，a2是关于x的方程x2－7a4x＋18a3＝0的两个实根．(1)试判断－22是否在数列{an}中；(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值．13已知数列{an}的前n项和为Sn，S1＝－eq\f(1,4)，an－4SnSn－1＝0(n≥2)．(1)若bn＝eq\f(1,Sn)，求证：{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．

1.60°解析：∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C.又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.2.42解析：设公差为d，则a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.3.－2解析：依题意a＋b＝－4，a2－b2＝8，∴8＝(a－b)(a＋b)＝－4(a－b)，∴a－b＝－2.4.8解析：∵a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，∴a8＝8，即m＝8.5.任意正整数解析：由S7－S4＝3，得a5＋a6＋a7＝3，即a6＝1.又a1＝1，所以d＝0，ak＋a4＝2，ak＝1，故k为任意正整数．6.eq\f(10,11)解析：设自上而下第一节竹子容量为a1，且数列{an}为等差数列．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，,a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，))解得a1＝eq\f(13,22)，d＝eq\f(7,66)，故a4＝a1＋3d＝eq\f(60,66)＝eq\f(10,11).7.eq\f(3,5)解析：∵eq\f(Sn,S2n)＝eq\f(n＋1,4n＋2)，∴eq\f(a1,a1＋a2)＝eq\f(1,3)，解得a2＝2a1，∴数列{an}的公差d＝a1，∴a3＝3a1，a5＝5a1，∴eq\f(a3,a5)＝eq\f(3,5).8.50解析：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1＝11.∵数列5，8，11，…与3，7，11，…的公差分别为3和4，∴{an}的公差d＝3×4＝12，∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.又5，8，11，…与3，7，11，…的第200项分别为602和799，∴an＝12n－1≤602，即n≤.又n∈N*，∴两数列有50个相同的项．9.10解析：依题意，令an＝f(n)，则an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＝－2，所以数列{an}是公差d＝－2的等差数列．又a3＝f(3)＝12，所以12＝a1＋2d＝a1－4，解得a1＝16，an＝16－2(n－1)＝18－2n，于是f(m)＝am＝18－2m.令18－2m＜0，解得m＞9，又n∈N*，所以使f(m)＜0的正整数m的最小值是10.10.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))解析：由题意可知a8＞0且a9＜0，即a1－eq\f(7,2)＞0且a1－4＜0，所以eq\f(7,2)＜a1＜4.11.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，S5＝－15，可得5＋10d＝－15，解得d＝－2，即an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝eq\f(n[1＋3－2n],2)＝2n－n2.令2k－k2＝－48，即k2－2k－48＝0，解得k＝8或－6.又k∈N*，故k＝8.12.解：(1)依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝7a4，,a1a2＝18a3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＝7（a1＋3d），,a1（a1＋d）＝18（a1＋2d），))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－4d，,aeq\o\al(2,1)＋a1d＝18a1＋36d，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝－3.))因为数列{an}中各项都不相等，所以d≠0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝0))不符舍去，因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝－3，))故an＝a1＋(n－1)d＝15－3n.令15－3n＝－22，解得n＝eq\f(37,3).因为eq\f(37,3)不是正整数，所以－22不在数列{an}中．(2)由(1)知an＝15－3n，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15－3n≥0，,15－3（n＋1）≤0，))解得4≤n≤5，所以n＝4或5时，Sn取最大值eq\f(5（a1＋a5）,2)＝30.13.(1)证明：当n≥2时，由an－4SnSn－1＝0，an＝4SnSn－1，得Sn－Sn－1＝4SnSn－1，所以eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝－4，即bn－bn－1＝－4.又b1＝eq\f(1,S1)＝－4，故{bn}是首项为－4，公差为－4的等差数列．(2)解：由(1)可得bn＝－4－4(n－1)＝－4n，即eq\f(1,Sn)＝－4n，所以Sn＝－eq\f(1,4n).当n≥2时，an＝Sn－Sn