高中数学人教B版第一章立体几何初步第1章3

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于()A．45° B．135°C．45°或135° D．90°【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.【答案】C2．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形．上述结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A.【答案】A3．如图1­1­57为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()【导学号：60870017】图1­1­57ABCD【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．【答案】C4．(2023·江西师大附中高一检测)已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1­1­58所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC中∠ABC的大小是()图1­1­58A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝eq\r(3)，AO⊥BC，∴AB＝AC＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.【答案】C5．下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】序号正误原因分析①√由平行投影和中心投影的定义可知②×空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点③×两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线【答案】B二、填空题6．下列图形：①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．其中投影不可能是线段的是________．【解析】根据投影的定义知②⑤不可能．【答案】②⑤7．如图1­1­59所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．图1­1­59【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin45°＝eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)8．(2023·雅安高二检测)如图1­1­60所示，斜二测画法得到直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．图1­1­60【解析】在梯形A′B′C′D′中，B′C′＝A′D′＋2·A′B′cos45°＝1＋eq\r(2)，则原平面图形是上底为1，下底为1＋eq\r(2)，高为2的直角梯形，其面积S＝eq\f(1,2)(1＋1＋eq\r(2))×2＝2＋eq\r(2).【答案】2＋eq\r(2)三、解答题9．如图1­1­61，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．图1­1­61【解】画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；①②(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.10．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3cm，高为3cm，画出这个正六棱锥的直观图．【解】(1)先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3cm，如图②所示；(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．[能力提升]1．如图1­1­62所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()图1­1­62A．AB B．ADC．BC D．AC【解析】还原直观图后知，原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC，AD是直角边BC的中线，所以AC最长．【答案】D2．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图1­1­63所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，则△ABC中AB边上的中线的长度为()图1­1­63\f(\r(73),2) \r(73)C．5 \f(5,2)【解析】由斜二测画法规则知△ABC是∠ACB为直角的三角形，其中AC＝3，BC＝8，AB＝eq\r(73)，所以AB边上的中线长为eq\f(\r(73),2).【答案】A3．如图1­1­64，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________.【导学号：60870018】图1­1­64【解析】易知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，平行四边形的高为OE，则OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′.∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S▱OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).【答案】24eq\r(2)4．(2023·咸阳高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图1­1­65所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原平面图形的面积．图1­1­65【解】过A作AE⊥BC，垂足为E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴四边形ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知B