高中数学北师大版1第一章直线多边形圆 优秀

学业分层测评(七)切割线定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.如图1­2­91所示，线段AB和⊙O交于C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于E，F.那么AE与BF的关系为()图1­2­91＝2BF ＝eq\f(1,3)BF>BF ＝BF【解析】∵AE2＝AC(AC＋CD)，BF2＝BD(BD＋CD).又∵AC＝BD，CD＝CD，∴AE2＝BF2，∴AE＝BF.【答案】D2.如图1­2­92，PAB，PCD是⊙O的两条割线，PC＝AB，PA＝20，CD＝11，则AB的长为()图1­2­92 【解析】设PC＝AB＝x，则x(x＋11)＝20×(20＋x)，所以x＝25.所以AB的长为25.【答案】B3.如图1­2­93所示，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B，C两点，PB＝2cm，BC＝8cm，则PA的长等于()图1­2­93cmcmcm\r(5)cm【解析】∵PB＝2，BC＝8，∴PC＝10.∵PA是⊙O的切线，PC是⊙O的割线，∴PA2＝PB·PC＝2×10，∴PA＝2eq\r(5)(cm).【答案】D4.如图1­2­94，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到直线AC的距离为2eq\r(2)，AB＝3，则AD的长为()图1­2­94\r(7) \r(13)\r(15) \r(6)【解析】∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2eq\r(2).∴BC＝2eq\r(32－2\r(2)2)＝2.又∵AB＝3，∴AC＝5.又∵AD为⊙O的切线，由切割线定理得AD2＝AB·AC＝3×5＝15，∴AD＝eq\r(15).【答案】C5.如图1­2­95，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()图1­2­95·CB＝AD·DB·CB＝AD·AB·AB＝CD2·EB＝CD2【解析】在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.【答案】A二、填空题6.如图1­2­96，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA中点，过M引割线交圆于B，C两点.求证：∠MCP＝∠MPB.图1­2­96【证明】∵PA与圆相切于A，∴MA2＝MB·MC.∵M为PA中点，∴PM＝MA，∴PM2＝MB·MC，∴eq\f(PM,MC)＝eq\f(MB,PM).∵∠BMP＝∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP＝∠MPB.7.如图1­2­97，PT是⊙O的切线，切点为T，直线PA与⊙O交于A，B两点，∠TPA的平分线分别交直线TA，TB于D，E两点，已知PT＝2，PB＝eq\r(3)，则PA＝__________，eq\f(TE,AD)＝__________.图1­2­97【解析】由切割线定理得PT2＝PB·PA，∴PA＝eq\f(4,\r(3))＝eq\f(4,3)eq\r(3).由弦切角定理得∠PTB＝∠TAB，又DP平分∠TPA，∴∠TPE＝∠DPA.∵∠TED＝∠PTB＋∠TPE，∠TDE＝∠TAB＋∠DPA，∴∠TED＝∠TDE.∴TD＝TE.由角平分线性质得eq\f(TD,AD)＝eq\f(PT,PA)＝eq\f(2,\f(4,3)\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∴eq\f(TE,AD)＝eq\f(\r(3),2).【答案】eq\f(4,3)eq\r(3)eq\f(\r(3),2)8.如图1­2­98，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连接CB，并延长与PQ相交于Q点，若AQ＝6，AC＝5，则弦AB的长是________.【导学号：96990032】图1­2­98【解析】∵PQ为切线，∴∠PAC＝∠ABC.∵AC是∠PAB的平分线，∴∠BAC＝∠PAC.∴∠ABC＝∠BAC，∴AC＝BC＝5，由切割线定理，可得AQ2＝QB·QC，∴62＝QB·(QB＋5)，解得QB＝4.∵∠QAB＝∠QCA，∴△QAB∽△QCA，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(QA,QC)，∴eq\f(AB,5)＝eq\f(6,4＋5)，解得AB＝eq\f(10,3).【答案】eq\f(10,3)三、解答题9.已知如图1­2­99所示，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于点C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2，求：图1­2­99(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.【解】(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x).解得x＝eq\r(2)，∴BC＝3x＝3eq\r(2).(2)在Rt△ABC中，AC＝eq\r(BC2－AB2)＝eq\r(14)，由割线定理，得CD·AC＝CN·CM，∴CD＝eq\f(CN·CM,AC)＝eq\f(2\r(14),7)，∴r＝eq\f(1,2)(AC－CD)＝eq\f(1,2)(eq\r(14)－eq\f(2\r(14),7))＝eq\f(5\r(14),14).10.如图1­2­100，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E.图1­2­100(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若EB＝6，EC＝6eq\r(2)，求BC的长.【解】(1)证明∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上.连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD.又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC.∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线.(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA.又∵EB＝6，EC＝6eq\r(2)，∴EA＝12，AB＝6.又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(EC,EA)＝eq\f(\r(2),2)，即AC＝eq\r(2)BC.又∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2eq\r(3).能力提升]1.如图1­2­101所示，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD＝DC，则sin∠ACO＝()图1­2­101\f(\r(10),10) \f(\r(2),10)\f(\r(5),5) \f(\r(2),4)【解析】如图所示，连接BD、DO，过点O作OE⊥AC于点E.∵AB是直径，∴BD⊥AC.又∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°.又∵AD＝CD，∴△ACB是等腰直角三角形.设AE＝x，∵OE⊥AC，BD⊥AC，O是AB的中点，∴E是AD的中点，∴AD＝2x.又∵CD＝AD，∴CE＝3x.又OE＝AE＝x，∴CO＝eq\r(10)x，∴sin∠ACO＝sin∠ECO＝eq\f(x,\r(10)x)＝eq\f(\r(10),10).【答案】A2.如图1­2­102，已知圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝eq\f(7,2)，AB＝eq\f(5,2)，PO＝5，则圆O的半径为()图1­2­102 【解析】设圆的半径为r，则PC＝5－r，PD＝5＋＝PA＋AB＝eq\f(7,2)＋eq\f(5,2)＝6，由切割线定理得：PC·PD＝PA·PB.所以，(5－r)(5＋r)＝eq\f(7,2)·6，解得：r＝2.【答案】A3.如图1­2­103，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4eq\r(3)，则圆O的半径长为__________，∠EFD的度数为__________.图1­2­103【解析】由切割线定理得，PD2＝PE·PF，∴PE＝eq\f(PD2,PF)＝eq\f(4\r(3)2,12)＝4，EF＝8，OD＝4.∵OD⊥PD，OD＝eq\f(1,2)PO，∴∠P＝30°，∠POD＝60°，∴∠EFD＝30°.【答案】430°点在圆周上，BC与圆切于M，AB，AC分别