高中数学北师大版第二章解析几何初步（全国一等奖）

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为()\f(1,a) B．aC．－eq\f(1,a) D．－eq\f(1,a)或不存在解析：若a＝0，则l2的斜率不存在；若a≠0，则l2的斜率为－eq\f(1,a).答案：D2．已知直线l1：2x＋(λ＋1)y－2＝0，l2：λx＋y－1＝0，若l1∥l2，则λ的值是()A．－2 B．－eq\f(1,3)C．－2或1 D．1解析：因l1∥l2，且l2的斜率存在，故－eq\f(2,λ＋1)＝－λ.解得λ＝－2或λ＝1.因为当λ＝1时两直线重合，故λ＝－2.答案：A3．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0解析：直线2x－3y＋4＝0的斜率为k1＝eq\f(2,3).∴kl＝－eq\f(3,2).又过点(－1,2)，故l的方程为y－2＝－eq\f(3,2)(x＋1)，化简得3x＋2y－1＝0.答案：A4．已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为()A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0解析：kBC＝eq\f(3－1,1－3)＝－1，∴高所在直线斜率为1，∴方程为y－1＝1×(x＋1)，即x－y＋2＝0.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．直线l与直线3x－2y＝6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为________．解析：由题意知直线l的斜率k＝eq\f(3,2)，设直线l的方程为y＝eq\f(3,2)x＋b.令y＝0，得x＝－eq\f(2b,3).∴－eq\f(2b,3)－b＝1，解得b＝－eq\f(3,5).∴直线l的方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(3,5)，即15x－10y－6＝0.答案：15x－10y－6＝06．点A(2，－1)关于直线x＋y－5＝0的对称点的坐标是________．解析：设A关于直线x＋y－5＝0的对称点为A′(a，b)，则直线x＋y－5＝0是线段AA′的垂直平分线，于是AA′的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)，\f(b－1,2)))在直线上，且kAA′＝1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)＋\f(b－1,2)－5＝0，,\f(b＋1,a－2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝3.))答案：(6,3)三、解答题(每小题10分，共20分)7．平行于直线2x＋5y－1＝0的直线l与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程．解析：依题意，可设l的方程为2x＋5y＋m＝0.它与x，y轴的交点分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(m,5))).由已知条件得：eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,5)))＝5，∴m2＝100，∴m＝±10，∴直线l的方程为2x＋5y±10＝0.8．已知点M(2,2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标．(1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；(2)∠MPN是直角．解析：设P(x,0)，(1)∵∠MOP＝∠OPN，∴OM∥NP.∴kOM＝kNP.又kOM＝eq\f(2－0,2－0)＝1，kNP＝eq\f(0－－2,x－5)＝eq\f(2,x－5)(x≠5)，∴1＝eq\f(2,x－5)，∴x＝7，即P(7,0)．(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，∴kMP·kNP＝－1.kMP＝eq\f(2,2－x)(x≠2)，kNP＝eq\f(2,x－5)(x≠5)，∴eq\f(2,2－x)×eq\f(2,x－5)＝－1，解得x＝1或x＝6，即P(1,0)或(6,0)．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点．(1)求点D，使直线CD⊥AB，且BC∥AD；(2)判断此时四边形ACBD的形状．解析：(1)如图，设D(x，y)，则由CD⊥AB，BC∥AD可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kCD·kAB＝－1，,kCB＝kAD，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x－3)·\f(2＋1,2－1)＝－1，,\f(2－0,2－3)＝\f(y＋1,x－1)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))即D点坐标为(0,1)．(2)∵kAC＝eq\f(0－－1,3－1)＝eq\f(1,2)，kBD＝eq\f(2－1,2－0)