自动控制课件ch5

第五章控制系统的频率法分析5.1频率特性的基本概念5.2频率特性的几种表示方法5.3典型环节的频率特性5.4开环系统频率特性的绘制5.5奈魁斯特稳定判据5.6稳定裕度5.7利用开环频率特性分析系统5.9利用MATLAB绘制频率特性曲线概述(1)高阶系统的分析难以进行；(2)当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行；(3)物理意义欠缺。用时域法分析系统的性能比较直观、准确，但是求解系统的时域响应往往比较繁杂。1.时域分析法的缺点频率特性法是二十世纪三十年代发展起来的研究自动控制系统的一种经典工程实用方法。是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法，可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。2.研究频率特性的意义频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系，通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能指标或反之。因此，频率特性法与时域分析法和根轨迹法是统一的。频率特性法的优点(1)不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解法就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而形象直观且计算量少。(2)系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性有明确的物理意义，它可以用实验方法来测定，这对于难以列写微分方程式的元件或系统来说，具有重要的实际意义。(3)频率特性法不仅适用于线性定常系统的分析研究，还可以推广应用于某些非线性控制系统。(4)便于系统分析和校正。根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，便于分析和校正。5.1频率特性的基本概念一、频率特性的定义RCui(t)uo(t)+-+-i

(t)其中：T=RC设经拉氏反变换，可得瞬态分量稳态分量稳态输出：Uo--稳态输出幅值j--稳态输出相位正弦输入与稳态输出之间：频率相同；幅值不同；相位不同。---幅频特性幅频特性曲线幅频特性：稳态输出与输入的振幅之比。1.00A(w)w---相频特性相频特性曲线相频特性：稳态输出与输入正弦信号的相位差。j(w)w线性定常系统的频率特性是零初始条件下稳态输出正弦信号与输入正弦信号的复数比。频率特性的定义：频率特性(幅相特性)：将G(jw)写成复数形式：---实频特性---虚频特性幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间的关系：二、频率特性与传递函数的关系一般线性定常系统：若：则：则：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当t→∞，即稳态时：其中kc、k-c分别为：频率特性与传递函数的关系为：由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。一般用这两种方法1.已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比；2.根椐传递函数来求取；3.通过实验测得。频率特性的求取频率特性与其它数学模型的关系微分方程频率特性传递函数脉冲函数5.2频率特性的几种表示方法一、极坐标图当w：0→∞时，向量G(jw)的幅值|G(jw)|和相角j(w)随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图或Nyqusit图。

G(jw2

)G(jw1

)w0ReIm--幅相频率特性曲线、Nyqusit曲线P(w)、A(w)是w的偶函数，Q(w)、j(w)是w的奇函数，因此，w：0→-∞时，G(-jw)与G(jw)关于实轴对称。共轭对称共轭对称一般作图方法1.手工绘制取w=0和w=∞两点，必要时还应在0<w<∞之间选取一些特殊点，算出这些点处的幅值和相角，然后在幅相平面上作出这些点，并用光滑的曲线将它们连接起来。2.用计算机绘制二、伯德图--对数频率特性曲线、Bode曲线伯德图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成，都以频率为横轴变量。1.伯德图的坐标横坐标分度：横坐标采用不均匀的对数刻度纵坐标采用线性刻度半对数坐标以频率w的对数值lgw进行线性分度，但为了便于观察仍标以w的值，因此对w而言是非线性刻度。Dec(十倍频程)：w每变化十倍，横坐标变化一个单位长度。lgw0132w１2345678910100lgw00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954121101000100w

纵坐标分度：对数幅频特性曲线L(w)--对数幅值L(w)=20lgA(w)相频特性曲线单位：分贝(dB)单位：度(o)或弧度2.使用对数坐标图的优点(1)由于横坐标采用对数刻度，展宽了低频段，压缩了高频段；(2)可以将乘法运算转化为加法运算；(3)所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐进线)近似表示；(4)对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。2.使用对数坐标图的优点3.关于Bode图的几点说明由于由于横坐标采用w的对数刻度，所以w=0不可能在横坐标上表示出来；横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。5.3典型环节的频率特性1.比例环节ReImK极坐标图L(w)=20lgK=常数伯德图K不同时：幅频曲线上下平移，相频曲线不变。2.惯性环节(1)极坐标图整理得：证明(2)伯德图①对数幅频特性--转折频率

②相频特性wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4高频渐近线斜率为-20dB/Dec低频渐近线为0dB的水平线伯德图高频渐进线斜率：幅频特性渐近线误差3.积分环节(1)极坐标图ReIm(2)伯德图一条斜率为-20dB/Dec的直线4.微分环节(1)纯微分环节ReIm①极坐标图②伯德图一条斜率为20dB/Dec的直线(2)一阶微分ReIm①极坐标图--转折频率②伯德图高频渐近线斜率为20dB/Dec对数幅频特性：相频特性：低频渐近线为0dB的水平线伯德图惯性环节一阶微分频率特性互为倒数(即T

=t

)时，对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；相频特性曲线关于零度线对称。5.振荡环节(0<z<1,wn=1/T)无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的，当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。(1)极坐标图(2)伯德图w=1/T--转折频率低频渐进线为0dB的水平线高频渐进线斜率为-40dB/Dec对数幅频特性：相频特性：伯德图渐近线误差5.4开环系统频率特性的绘制一、开环系统极坐标图的绘制(绘制奈氏图)手工画法将开环系统的频率特性写成A(w)ejj(w)或P(w)+jQ(w)的形式，根据不同的w算出A(w)、j(w)或P(w)、Q(w)，可在复平面上得到不同的点并连之，则可绘出系统的开环幅相频率特性曲线。使用MATLAB工具绘制例5-1:设0型系统的开环传递函数为：，试绘制系统的开环幅相频率特性(奈氏图)。解：用上述信息可以大致勾勒出奈氏图：ReIm系统频率特性数据0-5.77Q(w)0P(w)wj(w)10.0000。-56.3。0.200.40.343.85-4.14-85.2。0.8-0.79-1.72-114.6。-180。∞例5-2:设某Ⅰ型系统的开环传函为：，试绘制其开环极坐标图。解：分析：1.w=0时当w→0时，G(jw)渐近线是一条通过实轴-K(T1+T2)，且平行于虚轴的直线。2.当w→∞时渐近线方向向下3.与实轴的交点令：Q(w)

=0解得：交点为：ImRe极坐标图：具有积分环节的系统的频率特性的特点频率特性：式中：显然，低频段的幅值和相角均与系统型数有关。(Ⅰ型)(Ⅱ型)0型(n

=0)：Ⅰ型(n

=1)：Ⅱ型(n

=2)：n型(n

=n)：(0型)低频段频率特性ImRe高频段的幅相特性曲线与n-m有关n-m=3n-m=1n-m=2高频段频率特性极坐标特性曲线的终点都回到原点至于中频段，可计算一些特殊点的来确定，如与坐标的交点等。ReIm二、系统开环对数频率特性的绘制(绘制伯德图)将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：结论：幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。绘制开环系统Bode图的步骤1.将开环传递函数表示为典型环节的串联；2.确定各环节的转折频率并由小到大标在对数频率轴上；3.计算20lgK，过点(1,20lgK)作斜率等于-20ndB/dec的直线，得到最低频段的渐近线(或其延长线)；4.从低频渐近线开始，沿w增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率，直到绘出转折频率最高的环节为止；对惯性环节：-20dB/dec振荡环节：-40dB/dec一阶微分环节：+20dB/dec二阶微分环节：+40dB/dec5.若有必要，可对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；6.相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！[例3]开环系统传函为：，试画出该系统的伯德图。解：1.该系统是1型系统2.低频渐近线过点(1,20lgK)斜率为：-20n=-20dB/dec3.伯德图如下：L(w)w[例4]系统开环传函为：，试绘制系统的开环对数频率特性。解：1.该系统是0型系统2.低频渐近线过点(1,20)斜率为：-20n=0dB/dec3.开环对数幅频特性如下：-40-60124100wL(w)20红线为渐近线，兰线为实际曲线。[例5]系统开环传函为：，试绘制系统的开环对数频率特性。解：1.该系统是1型系统2.低频渐近线过点(1,17.5)斜率为：-20n=-20dB/dec描点作图简单，抓两头带中间。相频特性图5.5奈魁斯特稳定判据闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半平面。第三章中介绍的利用闭环特征方程的系数判断系统稳定性的劳斯稳定判据，其特点是利用闭环信息来判断闭环系统的稳定性。奈魁斯特稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性，它是频率分析法的重要内容。利用该判据，不仅能判断系统是否稳定(绝对稳定性)，也可以确定系统的稳定程度(相对稳定性)，还可以用于分析系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。一、幅角定理1.辅助方程开环传递函数：闭环传递函数：辅助方程：(1)F(s)的极点为开环传递函数的极点，F(s)的零点为闭环传递函数的极点；(2)分子、分母的阶次相等，零、极点个数相同；(3)F(s)与GK(s)相差为1。F(s)=1+GK(s)的几何意义：F(s)三个特点：F平面的坐标原点为GH平面的(-1,j0)点。

F(s)是复变量s的单值有理函数，可以证明：

①如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点d都可以在F(s)平面上找到一个相应的点d／，d／称为d在F(s)平面上的映射。2.幅角定理(映射定理)(1)预备知识②对于s平面上任意给定的一条不通过F(s)任何奇异点的连续封闭曲线G，也可以在F(s)平面上找到一条与之对应的封闭曲线G／。s平面与F平面的映射关系N>0G／逆时针包围原点；N<0G／顺时针包围原点；N=0G／不包围原点。(2)幅角定理s平面上不通过F(s)任何奇点的封闭曲线G，它包围F(s)在s平面上的Z个零点和P个极点，当s以顺时针方向沿封闭曲线G移动一周时，在F平面上相对应于封闭曲线G／将

绕原点旋转N圈。N、Z、P的关系为：N=P-Z二、奈魁斯特稳定判据1.零型系统(不含s=0极点)(1)奈魁斯特路径ⅰ--正虚轴s=jw：ⅱ--半径为无穷大的右半圆s=Rejq

：ⅲ--负虚轴s=jw：F(s)在虚轴上没有极点，按顺时针方向设计一条曲线G包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径(奈氏路径)。G(jw)特性曲线F平面上的封闭曲线G

在F平面上的映射G／ⅰ--和正虚轴对应的是辅助函数的频率特性F(jw)，相当于把GK(jw)向右移1；ⅱ--和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数F(s)→1；ⅲ--和负虚轴相对应的是辅助函数频率特性F(jw)对称于实轴的镜像。①F(jw)可由GK(jw)求得，而GK(jw)是开环频率特性，对应于映射曲线第ⅰ部分；

②F(s)对原点的包围，相当于GK(s)对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与GK(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样；③F(s)的极点就是GK(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是GK(s)在右半平面的极点数。辅助方程与开环频率特性的关系(2)奈魁斯特稳定判据若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N(N>0逆时针，N<0顺时针)，则闭环系统在右半平面的极点数为：Z=P-N。若Z=0，则闭环系统稳定，否则不稳定。[例5-7]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。在s右半平面的极点数P=0绕(-1,j0)点的圈数N=0闭环系统在右半平面的极点数

Z=P-N=0闭环系统稳定[例5-8]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。开环极点为-1，-1±j2P=0绕(-1,j0)点的圈数N=-2闭环系统不稳定2.Ⅰ型以上系统(含s=0极点)s=0GK(s)→∞F(s)→0不解析重构奈氏路径：iiiiiiⅳs平面ⅰ--正虚轴s=jw：ⅱ--半径为无穷大的右半圆s=Rejq

：ⅲ--负虚轴s=jw：ⅳ--半径为无穷小的右半圆s=R／ejq／：无穷小的右半圆在GH平面上的镜像Ⅰ型系统:半径：∞角度：Ⅱ型系统:半径：∞角度：[例5-10]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：先根据奈氏路径画出完整的映射曲线(Ⅰ型系统)映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以：N=1-1=0。P=0Z=P-N=0闭环系统稳定[例5-11]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：先根据奈氏路径画出完整的映射曲线(Ⅱ型系统)映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈，所以：N=-2。P=0Z=P-N=2闭环系统不稳定通常，只画出w=0→+∞的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：Z=P-2N／。式中，N／为w=0→+∞变化时，开环奈氏图包围(-1,j0)点的圈数。不包围(-1,j0)点，N／=00型系统包围(-1,j0)点，N／=-1Ⅰ型系统和Ⅱ型系统四、在伯德图上判断系统的稳定性(-1,j0)点奈氏图和伯德图的对应关系：(1)奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线；(2)奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180。相位线。正穿越负穿越GK(jw)对(-1,j0)点的包围情况可用正、负穿越情况来表示。正穿越--逆时针包围(-1,j0)负穿越--顺时针包围(-1,j0)正穿越负穿越正穿越负穿越伯德图上的正、负穿越正穿越--在L(w)>0范围内从下向上穿越-180。线(相角增加)负穿越--在L(w)>0范围内从上向下穿越-180。线(相角减小)伯德图上奈氏稳定判据如下：设开环传递函数GK(s)在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性L(w)>0的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180。线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s平面极点数为：Z=P-2N／，式中N／为正负穿越次数差()。若Z=0，闭环系统稳定；若Z>0，闭环系统不稳定。5.6稳定裕度一、相角裕度(相角裕量)剪切频率(截止频率)c

：GK(j)与单位圆交点处的频率。相角裕度：A(c)=1时与负实轴的夹角。=180。+(c)-1ReImGH平面物理意义：若系统剪切频率c处的相角再滞后，系统将处于临界稳定。二、幅值裕度-1ReImGH平面相角交界频率g

：

GK(j)与负实轴相交点的频率。A(g)幅值裕度hg：(-1,j0)点幅值1与A(g)之比。对数幅值稳定裕度Lg：物理意义：

若系统开环增益增大到原来的hg倍，系统将处于临界稳定。若系统稳定，则：hg>1(或Lg>0dB)，>0。稳定裕度在伯德图上的表示-180。(c)()L()Lgcg一般，为确定系统的相对稳定性，描述系统的稳定程度，需要同时给出幅值裕度和相位裕度两个量，缺一不可。工程上：=30。~60。，A()≤0.5，即Lg≥6dB。[例]设控制系统如下图所示K=10和K=100时，试求系统的相角裕度和幅值裕度。-解：开环系统伯德图：Lg≈8dB

≈21。Lg≈-12dB

≈-30。系统在K=10时是稳定的，在K=100时是不稳定的。辅助计算(K=10时)相角裕度：幅值裕度：1.在高阶系统中，奈氏图中幅