自动控制原理AI内容总结

自动控制原理AI内容总结第2章：控制系统的数学模型控制系统的输入/输出模型控制系统的状态空间模型线性微分方程和状态方程的解结构图与梅孙公式状态空间模型与I/O模型之间的等价变换微分方程

一阶系统表示为：

推广到一般情况：

其中：

均为实数，且为系统本身的结构、参数所决定。传递函数定义：

当系统的初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换Y(s)与输入信号的拉氏变换X(s)之比，称为系统的传递函数。阶系统的传递函数为,

频率特性当系统输入是正弦信号时定义：系统输出的稳态分量与输入量的向量表达式之比当系统输入为非周期信号时定义:系统输出信号的傅立叶变换像函数与输入信号傅立叶变换像函数之比。用表示。注意几点：频率特性与传递函数关系传递函数的定义域是整个s平面，而频率特性的定义域为s平面的虚轴。是依赖于ω的函数，在给定的ω值下，频率特性它是一个复数。即：频率特性也是一种数学模型，它描述了系统的内在特性，与外界因数无关。即当系统的结构参数给定了，系统的频率特性也完全确定。频率特性是一种稳态响应，是在系统稳定的前提下求得的。从理论上来看，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，且其规律性并不依赖与系统的稳定性。故可以用频率特性来分析、研究系统的稳定性、稳态特性和动态特性。频率特性状态空间模型状态方程具有n个变量的一阶微分方程组，其中将要求解的n个变量是状态变量输出方程将系统的输出变量表示成状态变量和输入变量的线性组合的代数方程系统的状态空间表示法

对且初始条件状态变量的选择不唯一，应满足以下两个条件：必须选择最少的状态变量作为状态向量的元素，而这些最少的状态变量可以充分地完全地描述系统的状态状态向量的元素必须是线性独立的因线性变换理解为坐标变换，所以线性变换不会对状态空间模型所描述的系统的基本特性产生影响，同一系统的不同的状态空间描述，当状态向量间存在线性非奇异变换时并不改变该系统的基本特性。线性微分方程和状态方程的解状态方程的解拉氏变换法考虑一个控制系统：对状态方程两边取拉氏变换，有:即对输出方程两边取拉氏变换，有：用左乘前式，得：时域解法齐次状态方程的解齐次状态方程设该向量微分方程的解为一个无穷级数，即：将上式代入原向量微分方程中，有：方程两边的变量，其同次幂系数应相等，有：故有因为所以令则注意①只是代表矩阵级数的符号，因为它和指数函数的级数表示非常类似。②称为矩阵指数。由于，矩阵指数可将系统的状态由初始状态，转移到任意时刻的状态，又称其为状态转移表示，矩阵，用③、状态转移矩阵有如下性质：

⑴、由，知：

⑵、由知：当时，有故：

④、的计算方法：

⑴、根据定义计算

⑵、拉氏反变换法因：又：结构图与梅孙公式结构图信号流程图梅孙公式前向通路的个数；为第个前向通路的增益；为系统的特征式；为除去与第个前向通路相接触的环路后系统的特征式模型间转换I/O模型当系统传递函数的分子为常数时状态空间模型当初始条件为零时，对上式取拉氏反变换，有：选择输出及其各阶导函数作为状态变量。即：两边分别求导，最后一式并代入微分方程：微分方程的解，即

阶线性定常系统取拉氏变换（初始条件为零），有先解出状态变量状态空间模型I/O模型代入输出方程，有：称为传递函数矩阵。如是标量函数，则传递函数为：第3章：控制系统的时域分析控制系统的动态特性分析控制系统的稳定性分析控制系统的稳态特性分析一个简单的一阶系统：故其阶跃响应为：其中a为正实数则系统单位阶跃响应（零状态响应）的拉氏变换为：显见：原点处的极点产生强迫响应，在处的系统极点产生自然响应。而能描述系统动态响应的参数只有a。一阶系统时间常数的阶跃响应由零上升到终值的63%所用时间。即为响应的时间常数，时间常数表示一阶系统响应波形由终值的10%到90%所用时间故：上升时间调整时间系统响应进入到终值的±2%（或±5%）范围内并不再越出该范围所用时间。二阶系统过阻尼响应极点：两个不等的负极点自然响应：指数衰减欠阻尼响应极点：两个共轭复数极点自然响应：带有阻尼的正弦振荡无阻尼振荡极点：两个纯虚数极点自然响应：无阻尼的正弦振荡临界阻尼极点：两个相等的负实数极点自然响应：指数变化函数+时间与指数变化函数28二阶系统的标准形式二阶系统的欠阻尼情况与动态性能指标峰值时间Tp与超调量σ%调整时间Ts与上升时间Tr欠阻尼二阶系统的极点分布深刻理解此图意义！控制系统的稳定性分析为此根据系统极点与系统稳定性之间的关系，将整个s平面划分为两个区域：左半开平面的稳定区域右半平面的不稳定区域线性定常系统（内部）稳定的充要条件：所有系统极点均分布在s平面左半开平面

判断线性定常系统的（内部）稳定性，实际上是判断系统极点的分布情况间接求极点代数判据：以特征多项式的系数为依据，经代数运算来判别系统极点的分布情况几何判据：图解法（Nyquist判据），用开环频率特性来判别闭环极点分布李亚普诺夫第二方法：将“动力学系统稳定其能量不增”加以拓展，引入广义“能量”函数来判别系统的稳定性直接求系统的极点求特征方程的根根轨迹法求根劳斯判据劳斯提出了判别系统稳定性的充分必要条件不仅能判别系统稳定性，而且还能确定在s的左、右半平面内系统极点的个数。将系统特征方程式写成s的降幂形式，即构造劳斯表劳斯判据系统稳定性可根据劳斯表的第一列元素的符号来判断若第一列元素具有相同的符号极点全部位于s的左半开平面，系统稳定若不满足此条件，则系统是不稳定的（含临界稳定）s平面的右半平面内的系统极点个数等于第一列元素符号改变次数构造劳斯表时的两个特殊情况及处理方法若某行的第一列元素算出为零有一行元素全为零劳斯表的应用判断系统是否稳定分析系统参数变化对稳定性的影响，给出系统稳定时参数的取值范围相对稳定性分析控制系统的稳态误差稳态误差的确定单位反馈系统的稳态误差故当系统是稳定的，则有两个因素决定稳态误差系统本身特性系统输入：：系统的型号系统开环传递函数可表示为：当n=0,1,2,…时，系统分别为0型、I型、II型等稳态误差系数稳态特性指标单位阶跃输入信号单位斜坡输入信号单位加速度函数位置误差系数速度误差系数加速度误差系数第4章：控制系统的复数域分析与综合根轨迹的基本概念根轨迹的绘制控制系统性能的复域分析控制系统的根轨迹综合根轨迹法：根据系统开环传递函数的零极点分布，当系统可变参数在可能的取值范围内变化时，依照一些简单的绘制规则便可用作图的方法画出系统极点（即特征方程的根）在s平面变化的轨迹，这些轨迹就叫做系统的根轨迹。工程适用性图解法，形象直观、简单实用用较简单的系统开环传递函数来分析闭环系统特性根轨迹的基本原理幅角条件：即：幅值条件：假设S平面中有点S1同时满足幅值条件和幅角条件,则S1就是系统K为某值时对应的特征方程的根。根轨迹基本条件的另一种形式：令：则：幅角条件又为：幅值条件为绘制根轨迹的概略图规则1：根轨迹的分支数等于系统闭环极点的个数，也即等于系统开环极点的个数。规则2：根轨迹是连续的，且对称于实轴。规则3：根轨迹在实轴上的分布是实轴段右侧的开环零、极点个数之和为奇数时，该实轴段属于根轨迹。规则4：根轨迹开始于开环极点，终止于开环零点。规则5：根轨迹在无穷远处的形态：实轴上的分离点与汇合点方法一：由系统特征方程式令代入上述特征方程式，有利用函数求极值方法，有方法二：分离点和会合点满足以下关系式其中分别是开环传函的零、极点。根轨迹与虚轴的交点方法一:劳斯判据方法二：开环复数极点的出射角与入射角控制系统的复数域分析(一)稳定性分析要求系统稳定，则系统全部闭环极点Si均位于S左半面。只要系统的根轨迹有分支进入S平面右半平面,则:系统在某个增益K范围内是不稳定的.系统稳定与不稳定的分水岭:系统根轨迹与虚轴的交点.稳定性分析动态特性分析稳态特性分析控制系统动态性能好坏是由系统闭环零、极点的位置共同决定.当绘制出系统根轨迹后,可求出某个特定增益值下系统的零、极点的分布。其中，闭环极点的分布决定动态响应类型。闭环极点位于S左半平面，该极点对应的输出分量是指数衰减的，极点距虚轴越远，衰减越快。闭环极点是负实数，对应输出分量是单调指数衰减。闭环极点是负实部的复数，该分量是振荡指数衰减。C(t)=A0

+

Aie-piti=1n(二)动态特性分析对于稳定的系统，系统增益越大，则稳态误差越小。从根轨迹图上可以确定不同增益值的系统，分析其稳态特性。说明：计算性能指标时，在一定条件下可以只考虑主导极点所对应的暂态分量，将高阶系统近似为一阶或二阶系统。(三)、稳态特性分析

稳态误差与系统根迹增益K有密切关系。结论：闭环极点的分布决定动态响应的类型闭环零极点的分布决定动态响应曲线的形态闭环实数零点会减少系统的阻尼比系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点远离虚轴的零、极点和偶极子对系统动态特性的影响可忽略不计主导极点对系统的动态响应起主导作用控制系统复数域综合根轨迹法综合控制系统步骤根据给定的动态性能指标，确定希望的闭环主导极点的位置绘制未校系统的根轨迹。若希望的主导极点不在该根轨迹上，则需综合动态校正装置若希望的主导极点已在该根轨迹上，则检验相应的系统增益是否满足稳态特性要求，若不满足，在原点附近增加开环负实偶极子来提高系统的稳态特性。校验综合后系统是否满足稳态和动态性能指标。第5章：控制系统的频域分析与综合频率特性图的绘制奈奎斯特判据稳定裕量控制系统性能的频率响应分析控制系统的频率响应综合频率响应的解析表达式向量形式系统的频率特性极坐标图(Nyquist图)对数频率特性图(伯德(Bode)图)对数幅相频率特性图(尼科尔斯(Nichols)图)奈氏图

系统的频率特性G(j)是以j为自变量的复变函数，当由0时G(j)在复平面中移动的轨迹伯德图可以在很宽的频率范围内观察系统的频率特性;简化作图;频率特性的纵向放大和缩小可化成Bode图曲线的上下平移;频率特性的横向压缩和伸长可化成Bode图曲线的左右平移;频率特性的倒数关系可化成Bode图曲线关于频率轴对称.n阶控制系统的频率特性可视为基本环节频率特性组合而成基本环节：比例环节、积分环节、微分环节、一阶惯性环节、二阶微分环节、二阶振荡环节、延迟环节。例5.2其转折频率为：5，10T=0.2T=0.1–20db/dec-20lg520-20lg5–60db/dec-60lg2–80db/dec–180º–90ºlg5510(1)=2T111T1212–arctgT21–90º–arctg=–90º–90º–arctg0.5=–206º(2)=2T221T2222–45º–90º–arctg=–233ºG(j)G(j)0+–90º–180º>11<–180º0–360ºNyquist图的绘制系统开环频率特性奈奎斯特判据指导思想：如果有一个s平面的封闭围线能包围整个右半平面，则该封闭围线在F(s)平面上的映射围线包围原点的圈数N应为实现该指导思想应解决三个问题：如何建立一个能包围整个s右半平面的围线，且该围线符合柯西幅角定理如何进行围线映射如何确定F(s)相应的映射围线对原点的包围圈数N，并将F(s)和系统的开环频率特性Nyquist判据若系统开环传递函数在s右半平面有p个极点，且Nyquist曲线对（-1，j0)点包围的圈数为N(N>0为顺时针，N<0为逆时针），则系统闭环极点在s右半平面的数目为若z=0,系统稳定若z不为零，则系统不稳定Nyquist稳定判据的另一种描述形式通过正虚轴的映射与(-1,j0)点的相对位置确定系统的稳定性.保证系统稳定的增益K的范围是:开环频率特性的相角为-1800时,幅值小于1.保证系统稳定的增益K的范围是:开环频率特性的相角为-1800时,幅值大于1.基于Bode图的奈奎斯特稳定判据在Bode图上:(与极坐标图上相反)n+:为自上而下的穿越数(正穿越数)，