高中数学北师大版第二章解析几何初步单元测试 学业分层测评2

学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定【解析】圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C为(0,1)，半径为eq\r(5).由圆心(0,1)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝eq\f(|－1＋3|,\r(22＋－12))＝eq\f(2,5)eq\r(5)<eq\r(5)，∴直线和圆相交．【答案】A2．已知圆x2＋y2－2kx－2y＝0与直线x＋y＝2k相切，则k等于()A．2 B．－2C．1 D．－1【解析】圆的方程可化为(x－k)2＋(y－1)2＝1＋k2，由eq\f(|k＋1－2k|,\r(2))＝eq\r(1＋k2)得k＝－1.故选D.【答案】D3．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，且PQ的中点是(1,2)，则|PQ|＝()A．2B．4C．8D．10【解析】设PQ的中点A(1,2)，圆心O(0,0)，连接OA，则OA⊥PQ，在Rt△OAP中，PA＝eq\r(r2－OA2)＝eq\r(9－5)＝2，∴PQ＝2×2＝4.【答案】B4．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为()A．－2 B．－4C．－6 D．－8【解析】由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝eq\r(2－a).圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2).由r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up21(2)得2－a＝2＋4，所以a＝－4.【答案】B5．已知圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A，B两点，圆心为P，若∠APB＝90°，则c的值为()A．－3 B．3C．8 D．－2eq\r(2)【解析】配方得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，圆心是点P(2，－1)，半径r＝eq\r(5－c)，点P到y轴的距离为2.当∠APB＝90°时，弦心距、半径和半弦长构成等腰直角三角形，所以eq\f(2,\r(5－c))＝eq\f(\r(2),2)，得c＝－3.【答案】A二、填空题6．直线ax＋by＋b－a＝0与圆x2＋y2－x－3＝0的位置关系是________．【解析】直线方程化为a(x－1)＋b(y＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．【答案】相交7．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，|MN|≥2eq\r(3)，则k的取值范围是________．【解析】因为|MN|≥2eq\r(3)，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于eq\r(22－\r(3)2)＝1，即eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))≤1，解得k≤0.【答案】k≤08．已知圆C与直线x－y＝0及x－y＝4都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为____________．【解析】设圆心为点C(a，－a)，由点到直线的距离公式得eq\f(|2a|,\r(2))＝eq\f(|2a－4|,\r(2))，解得a＝1，所以圆心为(1，－1)，半径为eq\r(2)，圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝2三、解答题9．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离.【导学号：10690065】【解】圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝eq\f(6,\r(m2＋1))，圆的半径r＝2.(1)若相交，则d<r，即eq\f(6,\r(m2＋1))<2，所以m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2)；(2)若相切，则d＝r，即eq\f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq\r(2)；(3)若相离，则d>r，即eq\f(6,\r(m2＋1))>2，所以－2eq\r(2)<m<2eq\r(2).10．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2eq\r(7)，求圆C的方程．【解】设圆心坐标为(3m，m)．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为eq\f(|2m|,\r(2))＝eq\r(2)|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.[能力提升]1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是()A．在圆上 B．在圆外C．在圆内 D．以上都不对【解析】由直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交知，eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，即a2＋b2>1，可知点P(a，b)在圆外，故选B.【答案】B2．由直线y＝x－1上的一点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1 \r(2)\r(3) D．2【解析】圆C：(x－3)2＋y2＝1的圆心C(3,0)，半径为1，P在直线x－y－1＝0上．切线PQ⊥CQ(Q为切点)，则切线长|PQ|＝eq\r(|PC|2－|QC|2)＝eq\r(|PC|2－1).|PC|的最小值为点C到直线x－y－1＝0的距离eq\f(|3－0－1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以|PQ|最小值＝eq\r(\r(2)2－1)＝1.【答案】A3．直线x＋y＋a＝0(a＞0)与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且S△OAB＝eq\r(3)，则a＝________.【解析】∵圆心到直线x＋y＋a＝0的距离d＝eq\f(|a|,\r(2))，|AB|＝2×eq\r(4－\f(a2,2))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×2×eq\r(4－\f(a2,2))×eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(3)，解得a2＝6或a2＝2.又a＞0，∴a＝eq\r(6)或eq\r(2).【答案】eq\r(6)或eq\r(2)4．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程．【解】(1)证明：因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1