高中数学人教B版第二章平面向量 学业分层测评17

学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up13(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up13(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up13(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()，B，D ，B，C，C，D ，C，D【解析】eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up13(→))，所以A，B，D三点共线.【答案】A2.(2023·临沂高一检测)设a，b为不共线向量，eq\o(AB,\s\up13(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up13(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up13(→))＝－5a－2b，则下列关系式中正确的是()\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→)) \o(AD,\s\up13(→))＝2eq\o(BC,\s\up13(→))\o(AD,\s\up13(→))＝－eq\o(BC,\s\up13(→)) \o(AD,\s\up13(→))＝－2eq\o(BC,\s\up13(→))【解析】eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up13(→)).【答案】B3.设a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up13(→))＝a＋kb，eq\o(AC,\s\up13(→))＝ma＋b(k，m∈R)，则当A，B，C三点共线时，有()＝m －1＝0＋1＝0 ＋m＝0【解析】∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up13(→))＝neq\o(AC,\s\up13(→))，∴a＋kb＝mna＋nb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn＝1，,k＝n，))∴mk－1＝0.【答案】B4.(2023·济南高一检测)已知向量e1，e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a与b共线，则k等于()A.±1 C.－1 【解析】∵a与b共线，∴a＝λb.即ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,kλ＝1，))解得k＝±1.【答案】A5.(2023·佛山高一检测)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则()A.λ＝0 ＝0∥e2 ∥e2或λ＝0【解析】∵a∥b，∴存在实数k，使得a＝kb，即(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；若2k－1≠0，则e1＝eq\f(λ,2k－1)e2，此时e1∥e2，又0与任何一个向量平行，∴有e1∥e2或λ＝0.【答案】D二、填空题6.已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________.【解析】设A，C的坐标分别为xA，xC，则AB＝3－xA＝5，∴xA＝－2，又AC＝xC－xA＝xC－(－2)＝2，∴xC＝0.【答案】07.(2023·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.【解析】∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))【答案】eq\f(1,2)8.(2023·绍兴高一检测)设a，b是两个不共线的非零向量，记eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝tb(t∈R)，eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，那么当A，B，C三点共线时，实数t的值为________.【导学号：72023053】【解析】∵eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OA,\s\up13(→))＝tb－a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→))－eq\o(OA,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a，∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o(AC,\s\up13(→))，即tb－a＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－\f(2,3)a)).由于a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(1,3)λ，,－1＝－\f(2,3)λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,t＝\f(1,2).))故当t＝eq\f(1,2)时，A，B，C三点共线.【答案】eq\f(1,2)三、解答题9.已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.【解】(1)BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.10.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ使向量d＝λa＋μb与c共线？【解】假设存在这样的实数λ，μ使得d＝λa＋μb与c共线，∴d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2.要使d与c共线.则有实数k，使得d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))所以λ＝－2μ.故存在这样的λ，μ，使d与c共线.[能力提升]1.设e1，e2是不共线向量，若向量a＝3e1＋5e2与向量b＝me1－3e2共线，则m的值等于()A.－eq\f(9,5) B.－eq\f(5,3)C.－eq\f(3,5) D.－eq\f(5,9)【解析】∵a∥b，∴存在实数λ，使得b＝λa，即me1－3e2＝λ(3e1＋5e2)，∵e1，e2是不共线向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3λ，,－3＝5λ，))解得m＝－eq\f(9,5).【答案】A2.(2023·枣庄校级月考)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝() 【解析】∵a＋b与c共线，b＋c与a共线，∴a＋b＝λc，b＋c＝μa，两式相减得a－c＝λc－μa，移项得(1＋λ)c＝(1＋μ)a.∵向量a，c不共线，∴只有1＋λ＝0,1＋μ＝0.即λ＝－1，μ＝－1.也就是a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.【答案】D3.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.【解析】∵a∥b，∴存在实数μ，使得a＝μb.即2e1－e2＝μe1＋λμe2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝μ，,－1＝λμ，))解得λ＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)4.如图2­1­35，设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交AB，AC于P，Q，若eq\o(AP,\s\up13(→))＝meq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(AQ,\s\up13(→))＝neq\o(AC,\s\up13(→))，求证：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.图2­1­35【证明】设eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，∵eq\o(AP,\s\up13(→))＝meq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(AQ,\s\up13(→))＝neq\o(AC,\s\up13(→))，∴eq\o(AP,\s\up13(→))＝ma，eq\o(AQ,\s\up13(→))＝nb.∵G为△ABC的重心，连接AG并延长交BC于D，则AD为△ABC一边BC的中线，∴eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，∴eq\o(AG,\s\up13(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(PG,\s\up13(→))＝eq\o(AG,\s\up13(→))－eq\o(AP,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－ma＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b.eq\o(GQ,\s\up13(→))＝eq\o(AQ,\s\up13(→))－eq\o(AG,\s\up13(→))＝nb－eq\f(1,3)(a＋b)＝－eq\f(1,3)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)))b.又eq\o(PG,\s\up13(→))与eq\o(GQ,\s\up13(→))共线，∴eq\o(PG,\s\up13(→))＝λeq\o(GQ,\s\up13(→))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c