上海交大-天线教程-第二章 EM回顾-EM理论

12023/2/4移动通信中的电波传播与天线第2章电磁场理论与方法回顾耿军平电子信息与电气工程学院，电子工程系电院楼群1－522Email:gengjunp@Tel:342046632014.09～122023/2/42电磁场回顾麦氏方程：场与源之间的关系场量之间的相关变化关系：本构关系：边界条件：约束条件三类边界条件：电磁问题的归结波动方程：麦氏方程的推演形式位函数的引入：方便求解场的表示：场＝入射场＋散射场2023/2/43电磁场基本方程和

电磁场运动的基本规律2023/2/44电磁场基本方程和电磁场运动的基本规律电磁场的基本方程坡印亭定理和坡印亭矢量波动方程和电磁位函数对偶形式的电磁场方程时谐（正弦）电磁场的复数表示

2023/2/45电磁场的基本方程电磁场的源——电荷和电流静态场的基本方程电磁感应定律与全电流定律麦克斯韦方程组与边界条件2023/2/46电磁场的源——电荷和电流电荷密度2023/2/47电流和电流密度2023/2/48电流和电流密度体电流密度J是一个矢量， 方向为导体内某点正电荷的运动方向 大小为垂直于它的单位面积上的电流传导电流：电子定向运动，服从欧姆定律运流电流：自由空间或气体中带电粒子的定向运动，不服从欧姆定律2023/2/49电荷守恒定律（电流连续性方程）条件：体电荷密度ρ

带电体内任一封闭曲面S

瞬间流出S的电流i为2023/2/410电荷守恒定律（电流连续性方程）积分形式：微分形式：V静止,散度定理电荷密度的时间变化就是电流密度的源V内电荷的变化必然伴随着包围V的封闭面S上的电荷流动2023/2/411电荷守恒定律（电流连续性方程）积分形式：微分形式：流过恒定电流：或微分方程适用于J和ρ连续可导的区域2023/2/412电磁场的基本方程电磁场的源——电荷和电流静态场的基本方程电磁感应定律与全电流定律麦克斯韦方程组与边界条件2023/2/413静态场的基本方程库仑定律与电场强度R,Ri:从源点指向场点满足线性规则和叠加原理2023/2/414静态场的基本方程（续）库仑定律与电场强度真空中有限区域V内连续分布的体电荷，V外p点电场强度E2023/2/415静态场的基本方程（续）静态场，E的通量不包含电荷的区域：包含电荷q的区域：2023/2/416静态场的基本方程（续）静态场，E的散度微分方程适用于E和ρ连续可导的区域(S,V)2023/2/417高斯定理与电通量密度电通量密度，电位移矢量，D：

只与发出电通量的电荷有关，而与空间中所填充的媒质无关2023/2/418

穿过真空或自由空间中任意封闭面的电通量等于此封闭面所包围的自由电荷总量

高斯定理或若体电荷位于封闭面内2023/2/419表明：1）研究区域适于源区域2）源区域内ρ连续分布3）该空间任一点处电通量密度的散度等于该点处的电荷密度4）积分方程不一定要完全满足以上条件1）和2）（充分而非必要）2023/2/420静电场的无旋性外力克服电场力做功，与路径无关外力克服电场力做功静电场是无旋场或保守场斯托克斯定理2023/2/421毕奥——萨伐尔定律与磁通量密度真空中磁场力各微小电流单元间的作用力并不一定等值反向；线圈间的总的作用力等值反响。2023/2/422毕奥——萨伐尔定律与磁通量密度

磁通量密度（磁感应强度）相当于回路l1作用于回路l2的单位电流元上的磁场力单位：T1T＝1Wb/m22023/2/423体电流J面电流JS2023/2/424载流导体在外磁场B中所受磁场力运动速度υ(υ<<c),电荷密度ρ2023/2/425磁力线闭合磁通量与磁通连续性原理封闭曲面S微分形式散度定理磁场是无散场或管形场2023/2/426安培环路定律与磁场强度安培环路定律磁场强度或闭合曲线l只是一条几何意义上的闭合曲线，不一定是导体2023/2/427安培环路定律与磁场强度磁场存在漩涡源J(面电流)安培环路定律积分形式安培环路定律微分形式思考：闭合曲线l包围的面与S面一致吗？2023/2/428表明：1）研究区域适于源区域2）源区域内J连续分布3）该空间任一点处磁场强度的旋度等于该点处的电流密度4）积分方程不一定要完全满足以上条件1）和2）（充分而非必要）2023/2/429安培环路定律与磁场强度（续）无限长载流实心圆柱载流导体周围磁力线为一组同心圆2023/2/430静态场小结

相对于观察者静止的、且其电量分布不随时间变化的电荷所引起的电场，称为静电场表征电场特性的场量是电场强度E和电位移D静电场是保守场（E的旋度为0）静磁场是管形场（B的散度为0）高斯定律安培环路定律静电场和静磁场可以单独存在，两者无任何联系2023/2/431时变电场与时变磁场

相互联系，相互产生2023/2/432电磁场的基本方程电磁场的源——电荷和电流静态场的基本方程电磁感应定律与全电流定律麦克斯韦方程组与边界条件2023/2/433电磁感应定律与全电流定律电磁感应定律E:导体内感应电场强度dS与dl满足右手螺旋导线回路电流不同于静电场2023/2/434电磁感应定律与全电流定律电磁感应定律表明：感应电场强度E沿任意闭曲线的线积分等于该路径所交磁链通量的时间变化率的负值。注意：形成封闭曲线的环路不一定是导电的。2023/2/435导线回路在磁场中运动回路运动，动生电动势磁场随时间变化，感生电动势Stokes定理Stokes定理2023/2/436电磁感应定律微分形式回路静止表明：变化的磁场激发电场，感应电场是旋涡场2023/2/437全电流定律静磁场时变场电流连续性方程安培环路定律修正由静磁场得出的安培环路定律不能直接用于时变场J不可能总是无散的2023/2/438全电流定律（续）高斯定理安培环路定律修正位移电流密度全电流定律微分形式全电流定律积分形式2023/2/439电通量密度D与位移电流l2023/2/440电磁场的基本方程电磁场的源——电荷和电流静态场的基本方程电磁感应定律与全电流定律麦克斯韦方程组与边界条件2023/2/441麦克斯韦方程组与边界条件微分形式的麦克斯韦方程组(电磁感应定律)(全电流定律)时变磁场激发时变电场传导电流和时变电场均激发时变磁场2023/2/442麦克斯韦方程组与边界条件（续）(磁通连续性原理)(高斯原理)穿过封闭曲面的磁通量恒等于0穿过封闭曲面的电通量等于该封闭曲面包围的自由电荷量2023/2/443说明：微分、瞬时形式非限定性的麦氏方程组适用：静态场，时变场；严格意义上，E(r,t),B(r,t)注意：E、D包括感应场，也包括库仑电场麦克斯韦方程组与边界条件（续）2023/2/444本构关系场量与场量之间的关系简单媒质：线性、均匀、各向同性线性媒质：媒质的参数与场强的大小无关均匀媒质：媒质的参数与位置无关各向同性媒质：媒质的参数与场强的方向无关非色散媒质：媒质参数与频率无关2023/2/445本构关系：场量与场量之间的关系（续）简单媒质的本构关系：自由空间：σ=0理想媒质σ=∞

理想导体0＜σ＜∞导电媒质

σ足够大：良导体2023/2/446各向异性媒质比如等离子体“黑幕”问题2023/2/447手征介质（Chriralmedium）自然界中手征介质很少见，但一般介质中掺入金属小螺旋可实现人工手征介质2023/2/4482023/2/449左手材料（Left－handedmaterial）

也称异向介质ε和μ同时为负的介质1986年苏联学者Veselago论述1996年，Pedery用金属周期杆产生负ε现象用开口环形谐振器周期阵结构产生负μ现象Smith和Shelby证实了ε和μ同时为负的现象2023/2/4502023/2/4512023/2/452哈奇森效应物体持续飘浮起来，像木头、塑料、泡沫塑料、铜、锌，它们会在空中盘旋，来回穿梭，形成旋涡并且不断升起，甚至有些物体会以惊人的速度自动抛出，撞击到人身上。由水泥和石头堆砌起来的屋子周围会突然起火；镜子自己碎裂，碎片能飞到100米之外！金属会卷曲、破裂，甚至会碎成面包屑状的粉末；不同的金属可以在室温下熔合在一起，有的金属可以变成果冻或泥的状态，当仪器所产生的场被撤走后，它们会重新变硬；空中出现光束，紧接着无数光环显现，与此同时，容器中的水开始打旋……2023/2/453哈奇森效应（续）哈奇森本人为什么不受磁场影响？可能是因为人体是有耗介质，不是理想导体，或者导电率太低。2023/2/454微分瞬时形式限定性的麦氏方程组2023/2/455积分形式的麦克斯韦方程组(电磁感应定律)(全电流定律)(磁通连续性原理)(高斯原理)Stokes定理散度定理高斯原理中的电荷、磁荷2023/2/456麦克斯韦方程组及电流连续性方程之间的关系1.高斯原理S1面的全电流定律S2面的全电流定律2023/2/457电流连续性方程对时间积分实验表明常数C＝02023/2/458边界条件——一般媒质界面方法：交界面处媒质突变——麦克斯韦方程组的积分形式h无穷小E的切向边界条件：2023/2/459类似的，对于HH的切向边界条件：h无穷小2023/2/460对于DD的法向边界条件：h无穷小2023/2/461B的法向边界条件：h无穷小类似的，对于B2023/2/462J的法向边界条件：ρ＝▽·D类似的，对于J散度定理h无穷小

电流连续性方程注意：ρS是自由电荷密度，不是束缚电荷

2023/2/463一般媒质界面边界条件小结问题：为什么前两个条件的推导用闭合曲线，后三个条件用闭合曲面？原因：麦氏积分方程，线积分、面积分；前者旋度，后者散度本构关系，E、H考虑介质的影响，

B、D只考虑进去量和流出去量2023/2/464边界条件——无源理想媒质与理想媒质界面σ＝0的无损耗介质注意：理想介质σ＝0，介质中不可能有传导电流。2023/2/465边界条件——理想媒质与理想导体界面σ1＝0的无损耗介质；σ2＝∞的导体注意：

对于电导率较小的媒质，其传导电流只是以体电流分布的形式

存在的，在分界面上没有面电流分布，则边界上磁场切向分量是连续的，H1t＝H2t

。2023/2/466静态电磁场的边界条件电介质中静电场磁介质中静磁场2023/2/467静态电磁场的边界条件电壁，电力线和导体表面垂直，又终止于导体表面磁壁，理想情况下，＝∞导磁体，磁力线和导磁体表面垂直理想介质和导体界面的静电场导体内部2023/2/468电磁场基本方程和电磁场运动的基本规律电磁场的基本方程坡印亭定理和坡印亭矢量波动方程和电磁位函数对偶形式的电磁场方程时谐（正弦）电磁场的复数表示2023/2/469坡印亭定理和坡印亭矢量坡印亭矢量坡印亭定理2023/2/470坡印亭定理——时变电磁场中能量守恒定律坡印亭定理：电磁能流与电磁场量之间的一般关系麦克斯韦的假设：在任一时刻，空间任一点的电磁能量密度应为此时电场能量密度与磁场能量密度之和2023/2/471坡印亭定理（续）坡印亭定理微分形式电磁感应定律全电流定律2023/2/472坡印亭定理（续）说明： 左边：E×H的散度（通量的密度）电磁波传播过程中的功率 右边：磁场项与电场项2023/2/473坡印亭定理积分形式微分形式积分散度定理2023/2/474简单媒质2023/2/475简单媒质坡印亭定理瞬时磁场能量密度(J/m3)wm=(B·H)/2=H2/2瞬时电场能量密度(J/m3)we=(D·E)/2=E2/2热损耗瞬时功率密度(W/m3)pσ=E·J=σE22023/2/476表明：体积V中电磁场能量随时间的增加率与热损耗功率之和等于单位时间内穿过封闭面S进入体积V的能量静态场：电场、磁场的时间变化率为0，穿过S流入V内的功率等于V内的功率损耗2023/2/477坡印亭矢量E、H周期函数坡印亭矢量，功率（流）密度矢量，能流密度矢量，右手螺旋，单位W/m2

代表穿过E与H所组成的微小面元的单位面积上的功率2023/2/478平行双导线导引电磁场2023/2/479电磁场基本方程和电磁场运动的基本规律电磁场的基本方程坡印亭定理和坡印亭矢量波动方程和电磁位函数对偶形式的电磁场方程时谐（正弦）电磁场的复数表示2023/2/480波动方程和电磁位函数波动方程电磁位函数及其方程2023/2/481波动方程假定媒质为稳定的简单媒质（均匀、线性和各向同性媒质，且μ、ε与t无关），此时限定形式的麦克斯韦方程组为2023/2/482有源矢量波动方程，非齐次矢量波动方程有源2023/2/483无源无源矢量波动方程，齐次矢量波动方程2023/2/484机械波（简谐波）2023/2/485波动方程(续)2023/2/486波动方程(续)有源2023/2/487电磁位函数及其方程目的：方便求解有源矢量波动方程矢量磁位——A

标量电位——Φ思路1：任一矢量场的旋度的散度一定等于零

>旋度的散度为0矢量磁位A简单媒质2023/2/488思路2：标量场的梯度的旋度恒等于零标量电位说明：▽前面的负号是由

E＝－▽引出的2023/2/489高斯定理（2－82）2023/2/490（2－79）全电流定律2023/2/491矢量唯一性定理A的散度可任意选取,不同场合用不同规范条件2023/2/492A的散度确定的规范条件洛仑兹规范（条件）A和Φ的非齐次矢量波动方程（2－79）说明：这样的方程使A和Φ分离，便于求解，多数情况下采用（2－82）（2－81）2023/2/493A的散度确定的规范条件（续）库仑规范（条件）A和Φ的非齐次矢量波动方程（2－79）2023/2/494无源说明：库仑规范下，A和Φ满足互联方程组，适于无源区域2023/2/495恒定场2023/2/496恒定场源点函数对场点坐标的旋度2023/2/497电磁场基本方程和电磁场运动的基本规律电磁场的基本方程坡印亭定理和坡印亭矢量波动方程和电磁位函数对偶形式的电磁场方程

时谐（正弦）电磁场的复数表示2023/2/498对偶形式的电磁场方程电型源（电流、电荷）电磁场磁型源（磁流、磁荷）电磁场HMEMJMEe-HeJ磁流、磁荷是人为等效来的2023/2/499电型源加磁型源2023/2/4100矢量磁位A标量电位矢量电位AM标量磁位M对偶2023/2/4101电磁场基本方程和电磁场运动的基本规律电磁场的基本方程坡印亭定理和坡印亭矢量波动方程和电磁位函数对偶形式的电磁场方程时谐（正弦）电磁场的复数表示

2023/2/4102时谐（正弦）电磁场的复数表示复数形式复数形式的麦克斯韦方程组复数形式的边界条件E和H矢量的亥姆霍兹方程复坡印亭矢量和复坡印亭定理2023/2/4103复数形式分量复振幅2023/2/4104复数形式电场强度复矢量偏导数2023/2/4105复数形式的麦克斯韦方程组微分、瞬时形式非限定性麦氏方程微分、瞬时形式非限定性麦氏方程说明：为书写方便，略去小圆点2023/2/4106复数形式边界条件说明：为书写方便，略去小圆点2023/2/4107E和H非齐次矢量的亥姆霍兹方程2023/2/4108E和H非齐次矢量的亥姆霍兹方程(续)2023/2/4109空间频率k每2π空间距离中的波长数2023/2/4110复坡印亭矢量2023/2/4111复坡印亭矢量同理2023/2/4112复坡印亭矢量（续）坡印亭矢量的复数形式，其实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度定义2023/2/4113复坡印亭矢量（续）2023/2/4114复数形式的能量密度2023/2/4115复坡印亭定理若右端第二项为实数，则表明：从封闭面S输入的有功功率等于体积V内的平均热损耗功率；从封闭面S输入的无功功率等于体积V内电磁场储能的最大时间变化率2023/2/4116三类边值问题2023/2/4117惟一性定理当物理状态给定时总能导出一个，且只有一个物理解；但数学上处理不当，可能导出多个解；惟一性定理：指明正确建模，实现惟一解。电磁场问题：当给定区域中的源和整个边界面上的切向电场或磁场都已确定时，此区域内的解就将惟一。2023/2/4118亥姆霍兹定理若矢量场F(r)在无限区域中处处是单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域V’中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场F(r)可以表示为上述关系称为亥姆霍兹定理。

2023/2/4119亥姆霍兹定理(续）该定理再次表明，无限空间中矢量场被其散度及旋度惟一地确定；而且它给出了场与其散度及旋度之间的定量关系；或者说，给出了场与源之间的定量关系。2023/2/4120静电场边值问题的解法第一类边值（Dirichlet）问题：已知全部边界上电位分布，如导体表面上的电位分布；第二类边值问题（Neumann）问题：已知边界上电位的法向分布，如导体表面上的电荷分布；第三类边值问题，又称混合边值（Robbin）问题：已知部分边界上的电位分布及另一部分边界上电位的法向导数。说明：对上述任一边值问题，满足边界条件的电位Poisson方程和Laplace方程的解是唯一的2023/2/4121静电场边值问题的解法（续）分离变量法

直角坐标系 圆柱坐标系镜像法

接地平面附近的点电荷 线电荷 导体球与点电荷复变函数法有限差分法2023/2/4122电磁场边值问题第一类边值（Dirichlet）问题：已知全部边界上电场分布，如导体表面上的电场法向分量为零；第二类边值问题（Neumann）问题：未知量的导数在边界上为已知固定值；第三类边值问题，又称混合边值（Robbin）问题：未知量和未知量的导数在边界上有确定关系。如：索末菲辐射条件：（自由空间在无限远处的辐射条件）；吸收边界条件等2023/2/4123等效原理2023/2/4124波和介质中的等效原理概述电偶极子和磁偶极子镜像源面电流和面磁流外加的和感应的面电流2023/2/4125概述研究有限空间区域：

感兴趣区域不感兴趣区域等效等效源感兴趣区域2023/2/4126等效时，确保全部边界条件得到满足；等效源可在感兴趣区域之外或边界上；等效源的构成方法不唯一；如果两种不同性质的源能在所研究区域内给出同样的解（在这个区域之外可能会给出不同的解），则称它们等效。说明2023/2/4127波和介质中的等效原理概述电偶极子和磁偶极子镜像源面电流和面磁流外加的和感应的面电流2023/2/4128电偶极子E静态电场恒定电场2023/2/4129磁偶极子H不感兴趣区域：包围小电流环的小体积小电流环和磁偶极子在包围他们的小体积外场相同在源的内部，二者的磁场指向相反小电流环磁偶极子磁流元2023/2/4130波和介质中的等效原理概述电偶极子和磁偶极子镜像源面电流和面磁流外加的和感应的面电流等效原理的应用2023/2/4131镜像源（1）无限大理想导体前的电荷2023/2/4132镜像源（2）无限大理想导体前的偶极子2023/2/4133镜像源（3）无限大理想导磁体（切向磁场趋于0的导磁表面）前的偶极子2023/2/4134镜像源（4）平行导电板之间的电偶极子2023/2/4135波和介质中的等效原理概述电偶极子和磁偶极子镜像源面电流和面磁流

外加的和感应的面电流2023/2/4136面电流边界上切向磁场分量的不连续引起面电流Js绕Js的磁场环路方向服从右手定则2023/2/4137面电流（z＝0）平面波（z>0）平面波（z<0）说明：z=0处，切向电场连续；z=0处，切向磁场不连续，不连续性等于面电流密度Js2023/2/4138面磁流边界上切向电场分量的不连续引起面磁流Ms绕Ms的电场环路方向服从左手定则也称为切向电场的边界条件2023/2/4139面磁流（z＝0）平面波（z>0）平面波（z<0）说明：z=0处，切向磁场连续；z=0处，切向电场不连续，不连续性等于面磁流密度Ms2023/2/4140波和介质中的等效原理概述电偶极子和磁偶极子镜像源面电流和面磁流

外加的和感应的面电流

2023/2/4141外加的和感应的面电流物体表面的感应面电流是物体表面的带电粒子的传导；外加面电流是外部因素的传导；当沿物体表面外加一层电荷或电流时，物体表面就同时感应面电荷或面电流，以使边界条件得到满足。考虑等效磁源的法拉第电磁感应定律（全电流定律）2023/2/4142例1.平面波垂直入射至理想导体的半空间。导体表面的感应面电流Js取代导体向z>0和z<0两个半空间辐射；Js在z<0区域产生反射波，使边界面电场为0Js在z>0区域产生平面波，与入射波结合，使导体内的场为02023/2/4143例2.平面波在z轴方向传播时的几种情况：

电场在x方向，研究z>0区域等效问题1：在z＝0处放置面电流和面磁流可在z>0处产生同样的场，而在z<0处没有场2023/2/4144等效问题2：在z＝0处放置面电流可在z>0处产生同样的场，而在z<0处平面波为2023/2/4145等效问题3：在z＝0处放置面磁流可在z>0处产生同样的场，而在z<0处场为2023/2/4146等效问题4：以理想导体代替z<0。在导电体前放置面电流和面磁流：在z>0处面电流不产生任何场，因为导体表面将感应有等幅反相的面电流，抵消了外加的Js；在z>0处面磁流产生相同的场2023/2/4147关于等效原理的几点说明：在不感兴趣的区域，等效问题解是无意义的；关于镜像法，把“存在有导体时偶极子的辐射”可以转化为偶极子阵列问题；等效原理的用途：在应用镜像法时，能重新建立公式；提供了一种由所研究区域表面上近似的源分布来获得近似解的方法。惟一性定理保证了这种近似解至少在所研究的区域内是唯一的。2023/2/4滞后位

---经典天线问题分析2023/2/4149时谐场的滞后位空间电磁波的场源是天线上的时变电流和电荷，因此辐射问题就是求解天线上的场源在其周围空间所产生的电磁场分布。严格地说，空间电磁场的求解就是在天线几何形状确定的边界条件下解麦克斯韦方程组，在绝大多数情况下这显然是十分困难甚至是不可能的。因此，辐射问题的求解往往采用近似解法，即先近似选取天线上的场源分布，再根据场源分布求天线辐射场。2023/2/4150时谐场的滞后位（续）根据天线的场源分布求其辐射空间的电磁场，可采用直接解法和间接解法。直接解法就是根据电磁场的复矢量和满足的非齐次矢量亥姆霍兹方程，由天线的电流分布直接求解E和H，这种解法的积分运算十分复杂；间接解法就是先由天线上的电流分布求解矢量磁位A，再由E和H与A间的微分关系求得E和H。这种解法的积分运算通常比直接解法要简单得多，因此多采用间接解法求解天线的辐射问题。2023/2/4151时谐场的滞后位（续）由式（2.102）可知，若自由空间中有限区域内有时谐的体电流和体电荷分布，则矢量磁位A和标量电位V分别满足以下方程：（6.1)(6.2)式中2023/2/4152时谐场的滞后位（续）方程（6.2）在自由空间中任一点处的解可写成为以下形式：（6.3）

此式代表体积V’内的体电荷在点处产生的电位，R是电荷元到点处的距离，即。2023/2/4153时谐场的滞后位（续）下面在直角坐标系下证明式（6.3）满足方程(6.2)。式（6.3）代入方程（6.2）由于2023/2/4154时谐场的滞后位（续）得证注意到▽2是对场点坐标(x,y,z)作用，而体积分是对源点坐标(x’,y’,z’)进行的

2023/2/4155时谐场的滞后位（续）矢量磁位方程（6.1）可分解为三个标量方程，而每个标量方程都同方程（6.2)类似，其解的形式也类似。若时谐电流以体电流密度分布在有限体积V’中，则此体电流在场点处产生的矢量磁位A为(6.7)

2023/2/4156时谐场的滞后位（续）式(6.7)就是矢量磁位方程（6.1）在自由空间中场点处的解。由式(6.7)和(6.3)容易得到A和V的瞬时表达式为(6.8)

(6.9)

2023/2/4157式中相位因子表明，自由空间中离开源点为R的观察点在某一时刻t的位场A和V是由时谐电流和电荷激发的，但它并不取决于同一时刻t的电流源和电荷源，而是取决于时刻(t-R/v)的源。换言之，观察点的位场变化滞后于波源的变化，滞后时间为R/v，这个时间即是电磁波在自由空间中传播距离r所需的时间。因此，通常称A为滞后矢量磁位，V为滞后标量电位。时谐场的滞后位（续）2023/2/4158根据时谐电流源解得A后，即可按以下两式确定E和H

（推导过程见p.39(2-76式~2-78式)）时谐场的滞后位（续）（6.10）

(6.11)

这正是式(2.78)和(2.76b)的复数表达形式

2023/2/4导波系统分析——波导问题2023/2/4160柱形传输系统的导波及其特性柱形传输系统中的电磁场2023/2/4161柱形传输系统中的电磁场广义正交坐标系：

z轴与规则传输系统的轴线相重合

u、v是规则传输系统横截面上的曲线坐标、直角坐标、圆柱坐标 2023/2/4162图5.2规则柱形传输系统及其坐标系2023/2/4163柱形传输系统中的电磁场（续）广义正交坐标系下分析规则传输系统的常用方法：

纵向场法赫兹矢量位法

2023/2/4164边界条件柱形传输系统中的电磁场（续）纵向场法依据：规则传输系统的边界形状和尺寸沿其轴向不变 E、H的矢量亥姆霍兹方程只含电场纵向分量的标量亥姆霍兹方程只含磁场纵向分量的标量亥姆霍兹方程场纵向分量场横向分量分离2023/2/4165柱形传输系统中的电磁场（续）假定：规则传输系统内填充的媒质均匀、线性、各向同性；传输系统内无自由电荷和传导电流；场为时谐场。则复矢量E和H满足齐次矢量亥姆霍兹方程2023/2/4166柱形传输系统中的电磁场（续）复矢量E和H分解为横向分量和纵向分量2023/2/4167

将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量，代入方程

(5.3a)

(5.3b)

(5.4a)

(5.4b)柱形传输系统中的电磁场（续）2023/2/4168正交柱坐标系电磁场的纵向分量、横向分量分别满足标量、矢量亥姆霍兹方程除直角坐标系外，(5.4)不能再分解为两个(5.3)(5.3)和特定边界条件联合求解Ez、Hz由Ez、Hz求出横向分量Et、Ht柱形传输系统中的电磁场（续）2023/2/4169拉普拉斯算符可分解为柱形传输系统中的电磁场（续）Z的度量因子h3＝1，u、v的度量因子与z无关横向拉普拉斯算子2023/2/4170将方程(5.3a)分离变量，令

(5.7)将(5.7)和(5.6)两式代入方程(5.3a)并整理，可得

(5.8)柱形传输系统中的电磁场（续）纵向场分量的横向分布纵向场分量的纵向分布2023/2/4171显然只有（5－8）式左、右两端都等于某一常数该式才能成立。令此常数为

，则得

(5.9a)

(5.9b)柱形传输系统中的电磁场（续）2023/2/4172同样可得

的两个方程为

(5.10a)

(5.10b)柱形传输系统中的电磁场（续）2023/2/4173若在(5.9)和(5.10)两方程中，令,则有

(5.11a)