高中数学北师大版第二章平面向量2从位移的合成到向量的加法

课时提升作业向量的加法一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2023·长春高一检测)向量(AB→+MB→)+(BO→+BC→)+OMA.BC→B.AB→C.AC→【解析】选C.原式=AB→+BO→+OM→+MB→+2.如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则OA→+BC→+AB→=A.CD→ B.OC→ C.DA→ 【解题指南】根据图形,由向量加法的三角形法则依次求和,即可得到和向量的表达式,从图形中找出相对应的有向线段即可.【解析】选B.由题图可得,OA→+BC→+AB→=OB→+BC→3.(2023·合肥高一检测)P为四边形ABCD所在平面上一点,PA→+PB→+PC→+PD→=AB→+CD→,A.四边形ABCD对角线交点 中点中点 边上一点【解题指南】利用向量的三角形法则可得:AB→=AP→+PB→,CD→=CP→+PD→.由于PA→+PB→+可得PA→+PC→=AP→+CP→,即PA→+PC【解析】选B.因为AB→=AP→+PB→,CD→=又PA→+PB→+PC→+PD→=所以PA→+PC→=AP→所以PA→+PC→=所以点P为线段AC的中点.故选B.4.在平行四边形ABCD中,CA→+AB→+BD→等于A.AB→ B.BC→ C.CD→ 【解析】选C.CA→+AB→+BD→=CB→+BD→5.(2023·青岛高一检测)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP→+OQ→=(A.OH→ B.OG→ C.EO→ 【解析】选D.设图中H左侧的点为I,连接OPIQ,易知四边形OPIQ为平行四边形,故OP→+OQ→=OI→,又OI→=【误区警示】本题容易出现误选A的错误,原因是误认为OPHQ为平行四边形,因此观察图形时应仔细.6.若|a|=3,|b|=4,且a,b方向相反,则|a+b|=() 【解析】选D.由题意可知|a+b|=|b|-|a|=1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.在矩形ABCD中,AB→+BC→=,AB→+BA→=,AB→【解析】由向量加法的三角形法则可知,AB→+BC→=AC→,AB→+由向量加法的平行四边形法则可知,AB→+AD→=答案:AC→08.若a表示“向东走8km”,b表示“向北走8km”,则|a+b|=,a+b的方向是.【解析】在平面内任意取一点O(如图),作OA→=a,AB→=b,则OB→=a+b,|OA→|=|AB→|=8,所以82+8向量OB→的方向是东北方向答案:82km东北方向9.根据图示填空:(1)c+d=.(2)f+e=.(3)a+b+d=.(4)c+d+e=.【解析】(1)c+d=AC→+CD→=(2)f+e=AD→+DE→=(3)a+b+d=(AB→+BC→)+CD→=AC→+(4)c+d+e=(AC→+CD→)+DE→=AD→+答案:(1)f(2)g(3)f(4)g三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2023·沈阳高一检测)如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:(1)DG→+EA→+(2)EG→+CG→+DA→【解析】(1)DG→+EA→+CB→=GC→+BE→+CB→=GC→+CB→+(2)EG→+CG→+DA→+EB→=EG→+GD→+DA→+AE→=ED→11.在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为10m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.【解析】作出图形如图:船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,可知四边形ABCD为平行四边形.在Rt△ACD中,|CD→|=|AB→|=|v|AD→|=|v船所以cosα=|CD→||AD所以α=60°,即船行进的方向与水流方向成120°角.【变式训练】一条小船要渡过一条两岸平行的小河,河的宽度d=100m,船的静水航行速度为4m/s,水流的速度为2m/s,试问当船头与水流方向的夹角为多大时,小船行驶到对岸所用的时间最少?此时小船的实际航行速度与水流速度的夹角的正切值是多大?【解析】设小船行驶到对岸所用的时间为ts,如图(1),设AB→表示水流的速度,AD→表示船的航行速度,以AD,AB为邻边作▱ABCD,则AC→就是船实际航行的速度.设∠BAC=α,∠BAD=θ,则AC→相对于垂直对岸的速度为v=AD→sinθ,小船行驶到对岸所用的时间为t=QUOTEd|v|=d|AD→|sinθ=故当sinθ=1,即θ=90°时,小船行驶到对岸所用的时间最少,为25s.当θ=90°,如图(2),在Rt△ABC中,|AB→|=2,|BC→|=|AD→|=4,所以答:当船头与水流方向的夹角为90°时,小船行驶到对岸所用的时间最少,为25s,此时小船的实际航行速度与水流速度的夹角的正切值是2.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2023·济宁高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果与向量AC1→共线的有①(AB→+BC→)+②(AA1→+A③(AB→+BB1④(AA1→+A个 个 个 个【解题指南】由向量的运算可得4个结果均为向量AC1→【解析】选D.由向量的运算可得①(AB→+BC→)+CC1→=AC→+CC②(AA1→+A1D1→)+D1C1→③(AB→+BB1→)+B1C1→=AB④(AA1→+A1B1→)+B1C1→=A2.河水的流速为5m/s,一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸,则小船的静水速度大小为()s s s s【解析】选A.设河水的流速|v2|=5m/s,静水速度与河水速度的合速度|v|=12m/s,小船的静水速度为|v1|,因为为了使航向垂直河岸,船头必须斜向上游方向,即:静水速度v1斜向上游方向,河水速度|v2|=5m/s平行于河岸,静水速度与河水速度的合速度|v|=12m/s指向对岸,所以静水速度|v1|=QUOTEv2+v22=13.在平行四边形ABCD中,若|BC→+BA→|=|BC→+AB→|,A.平行四边形ABCD为菱形B.平行四边形ABCD为矩形C.平行四边形ABCD为正方形D.以上都不正确【解析】选B.因为BC→+BA→=BD→,BC所以BC→+AB→=AD→+AB由|BC→+BA→|=|BC→+AB→|可知|所以四边形ABCD是矩形.4.设a=(AB→+CD→)+(BC→+DA→),b是任一非零向量,则在下列结论中,①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|;⑥|a+b|>|a|+|b|.A.①②⑥ B.①③⑥C.①③⑤ D.③④⑤⑥【解析】选C.因为a=(AB→+CD→)+(BC→+DA→)=AB→+BC→+CD→+DA→=二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2023·青州高一检测)已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点,则下列说法正确的是(填序号)(1)AB→+CB→(2)BA→+DA→(3)AD→+CD→(4)AO→+CO→+OB→+【解析】根据题意可得:(1)AB→+CB→=DC→+CB→=DB→≠AC(2)BA→+DA→=CD→+DA→=CA→≠AC(3)AD→+CD→=AD→+BA→=BD→(4)AO→+CO→+OB→+OD→=0+0=0,答案:(3)6.当非零向量a,b(a,b不共线)满足时,能使a+b平分a与b的夹角.【解析】菱形的对角线平分对角,由平行四边形法则可得,当|a|=|b|时,a+b平分a与b的夹角.答案:|a|=|b|三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2023·合肥高一检测)如图,点D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,求证:(1)AB→+BE→=AC→(2)EA→+FB→+DC→【证明】(1)因为AB→+BE→=AC→+CE→=AE→,所以AB→+BE→(2)由向量加法的平行四边形法则可得:EA→+FB→+DC→=(EF→+ED→)+(FD→+FE→)+(DF→+DE→)=(EF→+FE→【拓展延伸】用向量证明几何问题的一般步骤(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量.(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.(3)还原成几何问题.【变式训练】设E是平行四边形ABCD外一点,如图所示,化简下列各式:(1)DE→+EA(2)BE→+AB→+(3)DE→+CB→+(4)BA→+DB→+EC→【解析】(1)DE→+EA→=(2)BE→+AB→+EA→=EA→+AB→(3)DE→+CB→+EC→=DE→=DC→+CB→=(4)BA→+DB→+EC=DB→+BA→+AE→+EC8.重为|G|的物体系在OA,OB两根等长的轻绳上,轻绳挂在半圆形支架上.如图所示,若A端位置固定不变,将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中.OA绳和OB绳的拉力如何变化?【解题指南】OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中,物体始终处于平衡状态,找出不变的物理量,画出平行四边形进行分析.【解析】对结点O受力分析如图:结点O始终处于平衡状态,所以OB绳和OA绳上的拉力的合力大小保持不变,方向始终是竖直向上的.所以OA绳和OB绳的拉力变化为:OA绳受力大小变化情况:变小;OB绳受力大小变化情况是:先变小后变大.【变式训练】如图,在重300N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,当整个系统处于平衡状态时,求两